高中数学高考课后限时集训45 直线、平面垂直的判定与性质 作业


直线、平面垂直的判定与性质
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一、选择题
1．(2019·昆明模拟)己知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　)
A．l∥β或l⊂β　　 B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
A　[直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，A正确，故选A.]
2．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥α
B．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
C．若m∥α，n∥m，则n∥α
D．若m∥α，m∥β，则α∥β
B　[对于A，若α⊥β，m⊂β，则当m与α，β的交线垂直时才有m⊥α，故A错；对于B，若n∥α，则α内存在直线a，使得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B正确；对于C，当n⊂α时，显然结论错误，故C错；对于D，若α∩β＝l，则当m∥l时，显然当条件成立时，结论不成立，故D错．故选B.]
3.如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
C　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]
4.(2019·宁夏模拟)如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四
面体P­ABC的四个面中，直角三角形的个数有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
A　[∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，△ABC是直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．且PA⊥BC ，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线， ∴BC⊥平面PAC, ∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是4.故选A.]
5．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
C　[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴选项B，D错误；
∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，
∴A1E⊥BC1，故选项C正确；
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，
∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)
∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．
故选C.]
二、填空题
6．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．
如果l⊥α，m∥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)　[将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；(2)如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，正确；(3)如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，错误，有可能l与α斜交或l∥α.]
7.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．
　[连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．
因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，
又AA1＝1，所以AC1＝3，
所以sin∠AC1A1＝＝.]
8.(2019·潍坊模拟)四面体P­ABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________．(只填序号)
①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.
②⑤(答案不唯一)　[∵四面体P-ABC中，PA＝PB＝PC，
底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点， ∴CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，
∴AB⊥平面POC.∵AB⊂平面ABC, ∴平面POC⊥平面ABC，
∴两个相互垂直的平面为②⑤.]
三、解答题
9．(2019·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E.
[证明]　(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC­A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
10.如图，三棱锥P­ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若PA＝PC，求三棱锥P­ABC的体积．
[解]　(1)证明：如图，取AC的中点O，连接BO，PO，
因为△ABC是边长为2的正三角形，
所以BO⊥AC，BO＝.
因为PA⊥PC，所以PO＝AC＝1.
因为PB＝2，所以OP2＋OB2＝PB2，
所以PO⊥OB.
因为AC∩OP＝O，AC，OP⊂平面PAC，
所以BO⊥平面PAC.
又OB⊂平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，
所以PA＝PC＝.
由(1)知BO⊥平面PAC，
所以VP­ABC＝VB­APC＝S△PAC·BO＝××××＝.

1．(2019·武邑模拟)如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC的内部
A　[连接AC1(图略)，因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.]
2．(2019·南昌模拟)如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________．(将符合题意的序号填到横线上)

①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．
①③④　[根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，可得AH⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上，说法错误的是①③④.]
3．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
　[如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．
再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，
即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝＝＝.]
4.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点．
(1)求证：FM∥平面BDE；
(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．
[解]　(1)证明：取BD的中点O，连接OM，OE，

因为O，M分别为BD，BC的中点，
所以OM∥CD，且OM＝CD.
因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，
又EF∥AB，所以CD∥EF，
又AB＝CD＝2EF，
所以EF＝CD，
所以OM∥EF，且OM＝EF，
所以四边形OMFE为平行四边形，
所以MF∥OE.
又OE⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，
所以MF∥平面BDE.
(2)由(1)得FM∥平面BDE，
所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离．
取AD的中点H，连接EH，BH，
因为EA＝ED，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，
所以EH⊥AD，BH⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE，
所以EH⊥平面ABCD，所以EH⊥BH，
易得EH＝BH＝，所以BE＝，
所以S△BDE＝××＝.
设点F到平面BDE的距离为h，
连接DM，则S△BDM＝S△BCD＝××4＝，
连接EM，由V三棱锥E­BDM＝V三棱锥M­BDE，
得××＝×h×，
解得h＝，
即点F到平面BDE的距离为.

1．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
A　[记该正方体为ABCD­A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′­AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等．分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.]
2．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，如图2.

图1　　　　　图2
(1)求证：DE⊥A1B；
(2)求证：MN∥平面A1ED；
(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
[解]　(1)证明：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，
沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE，
∵A1E∩BE＝E，∴DE⊥平面A1BE，
∵A1B⊂平面A1BE，∴DE⊥A1B.
(2)证明：取CD中点F，连接NF，MF，
∵M，N分别为A1C，BE的中点，
∴MF∥A1D，NF∥DE，
又DE∩A1D＝D，NF∩MF＝F，DE⊂平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，NF⊂平面MNF，MF⊂平面MNF.
∴平面A1DE∥平面MNF，
∴MN∥平面A1ED.
(3)取A1B的中点G，连接EG，
∵A1E＝BE，
∴EG⊥A1B，
由(1)知DE⊥平面A1BE，
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，∴EG⊥BC，
又A1B∩BC＝B，∴EG⊥平面A1BC.
故棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，此时＝1.