高中数学高考课后限时集训28 正弦定理、余弦定理的综合应用 作业

　　　　　　　　　正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：45分钟一、选择题1．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　　)A．50(＋1)m B．100(＋1)mC．50 m   D．100  mA　[如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．]2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为(　　)A.   B.C.   D．－C　[因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.]3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)A．8   B．4C．2   D.B　[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B.]4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c·cos B＝2a＋b，若△ABC的面积为S＝c，则ab的最小值为(　　)A．8   B．10C．12   D．14C　[在△ABC中，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，即2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＋sin B，所以2sin Bcos C＋sin B＝0.因为sin B≠0，所以cos C＝－，C＝.由于△ABC的面积为S＝ab·sin C＝ab＝c，所以c＝ab.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，整理可得a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时，取等号，所以ab≥12.]5．在△ABC中，sin B＝，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝(　　)A．－   B.C．－   D.A　[依题意设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，BC＝3x.因为sin B＝，所以AB＝＝3y.因为BC边上的高为AD，如图所示，所以AB2＝AD2＋BD2＝y2＋4x2＝9y2，即x＝y.所以AC＝＝＝y.根据余弦定理得cos∠BAC＝＝＝＝－.故选A.]二、填空题6．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．10　[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．12　[由正弦定理＝，可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.又在△ABC中，sin B＞0，∴sin A＝cos A，即tan A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤()2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.]8.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．　[设AB＝a，∵AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，∴sin C＝＝.]三、解答题9.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3.(1)求AD的长；(2)若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．[解]　(1)∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，∴由余弦定理得cos 120°＝，解得AD＝(AD＝－2舍去)，∴AD的长为.(2)∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，∴由正弦定理得＝＝，解得BC＝3－3，DC＝.如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，则AE＝AB＝，CF＝BC＝，∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×(＋)＝.10．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B＝3atan A.(1)求的值；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[解]　(1)∵2csin B＝3atan A，∴2csin Bcos A＝3asin A，由正弦定理得2cbcos A＝3a2，由余弦定理得2cb·＝3a2，化简得b2＋c2＝4a2，∴＝4.(2)∵a＝2，由(1)知b2＋c2＝4a2＝16，∴由余弦定理得cos A＝＝，根据基本不等式得b2＋c2≥2bc，即bc≤8，当且仅当b＝c时，等号成立，∴cos A≥＝.由cos A＝，得bc＝，且A∈(0，)，∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××sin A＝3tan A.∵1＋tan2A＝1＋＝＝，∴tan A＝≤＝.∴S＝3tan A≤.∴△ABC面积的最大值为.1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝(　　)A.   B.C．2   D.B　[由sin B＋2sin Acos C＝0，根据正弦定理和余弦定理得b＋2a·＝0，∴a2＋2b2－c2＝0，∴b2＝，∴cos B＝＝＝＋≥，当且仅当＝，即＝时取等号，cos B取最小值.故选B.] 2.(2019·吉林长春质量监测(四))《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　)A．1 255步   B．1 250步C．1 230步   D．1 200步A　[因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30 750步，又＝，所以AH＝＝1 255(步)．故选A.]3.如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝________．　[∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝2∠A.设AD＝DB＝x，∴在△BCD中，＝，可得＝.①在△AED中，＝，可得＝.②联立①②可得＝，解得cos A＝.]4．(2019·宁德模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且2c－b＝2acos B，a＝.(1)若c＝，求△ABC的面积；(2)若△ABC为锐角三角形，求b－c的取值范围．[解]　(1)∵2c－b＝2acos B，由正弦定理得2sin C－ sin B＝2sin Acos B，∴2sin(A＋B)－sin B＝2sin Acos B，∴2cos Asin B＝sin B.∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝.又∵A∈(0，π)，∴A＝.由余弦定理得7＝b2＋3－2××b，即b2－3b－4＝0，(b－4)(b＋1)＝0，∴b＝4或b＝－1(舍去)，∴S△ABC＝bcsin A＝×4××＝.(2)由(1)知A＝.由正弦定理得，＝＝＝＝2，∴b－c＝2[sin B－sin(－B)]＝2(sin B－cos B)＝2sin(B－)．∵△ABC是锐角三角形，∴＜B＜，＜B－＜，＜sin(B－)＜，∴b－c∈(，)．1.(2019·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．80　[由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理＝，得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB＝80.故图中海洋蓝洞的口径为80.]2.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积．[解]　(1)因为c＝4，b＝2，2ccos C＝b，所以cos C＝＝.由余弦定理得cos C＝＝＝，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝.(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以＝＝＝2，又＝，所以＝2，所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.又因为cos C＝，所以sin C＝＝.又S△ADE＝S△ACD－S△ACE，所以S△ADE＝×DE×AC×sin C＝.