黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学Word版答案试题含答案

  数学

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“，”的否定是

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，

考点：全称命题与特称命题

2. 在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则=（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用任意角三角函数定义,结合正弦二倍角公式求解即可.

【详解】由任意角三角函数定义得：,,

故选：A.

3. 若，，，则、、的大小关系为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果.

【详解】解：，

，，

，

∴，

故选：A.

4. 函数的零点所在区间是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.

【详解】由在上递减，

所以在上递减，

又，，

所以零点所在区间为.

故选：B

5. 要得到函数的图象, 只需将函数的图象（）

A. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.

B. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.

C. 所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.

D. 所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，可得，再将函数图象的各点向左平移个单位，可得，

所以要得到函数的图象, 只需将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位，故选D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数图象变换的原则，合理准确地完成平移与伸缩是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

6. 函数的最大值与最小值之和为

A.  B. 2 C. 0 D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由同角三角函数的平方关系可得，

再设，又，则，再结合二次函数在闭区间上最值的求法求解即可.

【详解】解：由，

又，所以，

设，则，

则，，

又函数在为增函数，

则，，

则函数的最大值与最小值之和为，

故选：A.

【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，重点考查了二次函数最值的求法，属基础题.

7. 函数（，且）的图象过一个定点P，且点P在直线（，且）图象上，则的最小值是（）

A. 9 B. 8 C. 5 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】确定函数过定点，代入直线方程得到，变换，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】过定点，故，即，

，

当，即，时等号成立.

故选：A

8. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数a满足不等式，则a的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，写出函数的解析式，由函数的奇偶性和单调性列出不等式，解之即可.

【详解】由题意可知：的定义域为，

因为，所以函数为奇函数，

又因为，且在上为减函数，

由复合函数的单调性可知：在上为增函数，

因为，所以，

所以，解得：或，

所以实数的取值范围为，

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论正确的是（）

A. 是第三象限角

B. 若角的终边过点，则

C.

D. 若圆心角为的扇形弧长为，则该扇形面积为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用终边相同的角判断A；利用任意角的三角函数的定义可判断B；利用诱导公式求解可判断C；利用扇形面积公式可判断D.

【详解】对于A：，是第二象限角，故A错误；

对于B：角的终边过点，则，所以，故B正确；

对于C：，

，则，故C正确；

对于D，扇形的半径为，面积为，D正确；

故选：BCD.

10. 已知，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】对两边平方得，结合的范围得到，可判断A；再对平方将代入可求出可判断D；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误.

【详解】，两边平方得：，

解得：①，

故异号，

因为，所以，A正确；

所以，

，

所以②，D正确；

由①②可得，故，故B，C不正确.

故选：AD.

11. 函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（）

A. 的最小正周期为

B. 是奇函数

C. 的图象关于直线对称

D. 在上单调递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据相邻两个最高点之间的距离为得到函数的最小正周期，从而求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】解：因为函数相邻两个最高点之间的距离为，

即函数的最小正周期为，故A正确；

所以，解得，则，

所以为奇函数，故B正确；

又，所以函数关于点对称，即C错误；

若，则，因为在上单调递增，

所以在上单调递增，故D正确；

故选：ABD

12. 已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则实数m的取值可以是（）

A. 4 B. 5

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】判断函数在的单调性及值域，则可将命题转化为，求解可得范围，即可判断.

【详解】当时，，则在，单调递减，，单调递增，此时.

由定义在R上的函数满足得，在的图象向右移动个单位时，图象纵坐标拉伸为原来的倍，对应值域为；

向左移动个单位时，图象纵坐标压缩为原来的倍，对应值域为.

图象如图所示，

若对任都有，由及图象可得，，

又当时，，故有，

故实数m的取值范围为.

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数在上单调递增，则实数的值为______

【答案】0

【解析】

【分析】

由题可得，解出即可.

【详解】由题可得，解得.

故答案为：0.

14. 函数的定义域为，则实数的取值范围是_______________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，将问题转化为恒成立问题，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】由题意可知，恒成立，

当时，恒成立，

当时，，解得，

综上：，故的取值范围为.

故答案为：.

15. 已知，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为，则

.

故答案为：.

16. 函数，若在区间内无最值，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，

由在区间上没有最值可知，

进而可知或，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.

【详解】函数，

由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足，

解得，

由题意可知，在区间上没有最值，则

则，，

所以或，

因为，解得或，

当时，代入可得或，

当时，代入可得或，

当时，代入可得或，此时无解.

综上可得或，即的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. ，

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据的值得出集合，再由集合的补集运算得出；

（2）先求出集合，再由，得出，分集合和两种情况讨论可得出实数的取值范围.

【详解】（1）若，则，所以，

（2）由得，所以，

因为，所以，

①当时，，；

②当时，即时，要使，则需，解得，解得，

所以此时无解.

综上：实数的取值范围是.

【点睛】本题考查集合间子集关系和并集、补集运算，由集合的并集结果得出集合间的子集关系是本题的关键，注意需考虑子集是空集和不是空集的情况分类讨论，属于基础题.

18. 已知.

（1）化简;

（2）若求的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式即可化简；

（2）利用同角三角函数的基本关系可求的值，进而根据二倍角公式化简，即可得出答案．

【小问1详解】

根据诱导公式得：

.

【小问2详解】

因为所以，，

所以由可得：，

所以.

19. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，．

（1）求函数解析式；

（2）当时，求函数的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式；

（2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围.

【小问1详解】

由图象可知，，，

设最小正周期为，，∴，

∴，

又∵，且，

∴，，∴，

∴函数的解析式为.

【小问2详解】

当时，，，

∴函数取值范围是.

20. 已知函数.

（1）设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式;

（2）当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性对解析式进行求解即可；

（2）由题意，化简后，使用换元法进行求解即可

【小问1详解】

当时，，

当时，，∴

又∵为奇函数，∴当时，，

又∵是定义域在上的奇函数，∴，

综上所述，函数的解析式为.

【小问2详解】

当时，，，

∴

令，当时，，

设，，

∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为，

令，解得（舍）或，

∴当时，函数（其中）的最小值为，

则实数的值为.

21. 已知函数

（1）将函数化简成的形式，并求出函数的最小正周期；

（2）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程在上有两个不同的解，，求实数的取值范围，并求的值.

【答案】（1），最小正周期为

（2）实数的取值范围是，

【解析】

【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简，并利用求出最小正周期即可.

（2）先使用伸缩和平移变换得到，再将方程等价变换为，由的图象和性质求出的取值范围，即可求出实数的取值范围，同时，利用的对称性，可求出的值.

【小问1详解】

，

∴函数的最小正周期.

【小问2详解】

由（1），

将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，

得到函数的图象，∴，

由，，得，，

∴在区间（）上单调递增，

同理可求得在区间（）上单调递减，

且的图象关于直线，对称，

方程等价于，

∴当时，方程有两个不同的解，，

由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，

且，，，

∴当时，方程有两个不同的解，，

∴，实数的取值范围是.

又∵的图象关于直线对称，∴，即，

∴.

22. 函数

同时满足下列两个条件：

①图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形;

②是的一个对称中心;

（1）当x∈[0，2]时，求函数的单调递减区间；

（2）令若g（x）在时有零点，求此时的取值范围．

【答案】（1）和

（2）

【解析】

【分析】（1）化简的解析式，根据条件①②求得，利用整体代入法求得的单调递减区间.

（2）化简的解析式，通过分离常数法，结合三角函数的值域求得的取值范围.

【小问1详解】

.

的最大值是，

由于图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形，

所以，，

由于是的一个对称中心，

所以，

所以，

由于，所以，

则，

由，

解得，

由于，所以的单调递减区间是和.

【小问2详解】

，

，

所以，

依题意，在时有零点，

即方程在时有解，

即在时有解，

，

，

，，

所以.