第10讲 导数与函数的极值、最值-高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

第十讲：导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．(2)极大值点与极大值若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ．特别提醒：（1），不一定是极值点（2）只有且两侧单调性不同 ，才是极值点. (3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性.2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程的根（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况 若左正右负，则为极大值； 若 左负右正，则为极小值； 若 左右同号，则无极值。3.最大值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有; （2）存在，使得那么，称是函数的最大值 4.最小值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有; （2）存在，使得那么，称是函数的最小值 【典型题型讲解】考点一：求函数的极值与极值点【典例例题】例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数，.（1）求函数的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.例2.已知函数……自然对数底数）.(1)当时，求函数f（x）的单调区间；(2)当时，（i）证明：存在唯一的极值点：（ii）证明：【方法技巧与总结】1．在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知函数（且为常数）.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.2.函数．(1)求函数在上的极值；(2)证明：有两个零点．【典型题型讲解】考点二：根据极值、极值点求参数【典例例题】例1．（2022·广东广东·一模）已知函数，．（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．【方法技巧与总结】极值点是一个函数导数的零点问题，转化零点问题。【变式训练】1.已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．2.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．3.函数在上无极值，则m＝______．4.已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【典型题型讲解】考点三：不等式恒成立与存在性问题【典例例题】例1．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．【变式训练】1.已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.2．（2021·广东佛山·一模）已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．(1)求函数的表达式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．3．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.4．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数，其中且.(1)设，过点作曲线的切线（斜率存在），求切线的斜率；(2)证明：当或时，.【巩固练习】一、单选题1．已知是函数的一个极值点，则的值是（       ）A．1 B． C． D．2．已知，函数的极小值为，则（       ）A． B．1 C． D．3．设 ，若为函数的极小值点，则（       ）A． B． C． D．4．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．5．已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（       ）A． B．1 C． D．6．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ）A． B．C． D．二、多选题7．已知．则下列说法正确的有（       ）A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为C．函数有极大值D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是8．设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（       ）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（       ）A． B．在上单调递增C．为的极小值点 D．仅有两个零点三、解答题10．已知函数在上有两个极值点，，且．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，． 11．设函数.(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.12．已知函数．（注：是自然对数的底数）(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．13．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知函数，.（1）若的最大值是0，求函数的图象在处的切线方程；（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围.14．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数，在定义域上有两个极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)求证:15．（2022·广东东莞·高三期末）已知且，函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.16．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在上的函数．(1)求的单调递增区间；(2)对于，若不等式恒成立，求a的取值范围．17．（2022·广东清远·高三期末）已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．18．（2022·广东汕尾·高三期末）已知函数，a是常数且．(1)求曲线在点P处的切线l的方程；并证明：函数的图象在直线l的下方；(2)已知函数有两个零点，求实数a的取值范围．