第03讲 复数-高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

第三讲：复数【考点梳理】1、复数的有关概念（1）形如 ()的数叫做复数，其中 分别是复数的实部和虚部．若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数．(2)复数相等：()．(3)的共轭复数为 ()．(4)复数()与复平面的点一一对应．(5)复数()的模注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．2、复平面及复数的几何意义（1）.复平面（2）复数的几何意义①复数()复平面内的点.②复数()平面向量.（3）复数的模：①定义：向量的模叫做复数()的模或绝对值.②记法：复数i的模记为或 ③公式：（3）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：的共轭复数用表示，即若()，则3、复数加法与减法的运算法则（1）设，()是任意两个复数，则①；②（2）对任意，有①；②.4、复数加减法的几何意义如图，设复数，对应向量分别为，，四边形为平行四边形，向量与复数对应，向量eq \o(Z2Z1,\s\up6(→))与复数对应.5、复数乘法的运算法则和运算律（1）复数的乘法法则设，()是任意两个复数，则.2.复数乘法的运算律对任意复数，有6、复数除法的法则设，(，且)是任意两个复数，则7、方程的虚数根对所有的实系数一元二次方程，若，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根，故实系数方程的虚根成对出现．8、常用结论①②③【典型题型讲解】考点一：复数的相关概念【典例例题】例1.已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（　　）①若，则； ②若，则；③若，则； ④若是虚数，则都是虚数. A．①④ B．② C．②③ D．①②③例2.已知，（，为虚数单位），则实数的值为（　　）A．5 B．6 C．7 D．8【方法技巧与总结】复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．【变式训练】1.已知复数和，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知，若复数是纯虚数，则（    ）A．0 B．2 C．0或 D．3.若，则是的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点二：复数的运算【典例例题】例1．（2022·广东·金山中学高三期末）（多选）下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）A． B．C．的共轭复数为 D．的虚部为例2．（2022·广东东莞·高三期末）（多选）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【方法技巧与总结】设，则（1）（2）（3）【变式训练】1．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（    ）A． B． C． D．2．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数满足，则（    ）A． B． C． D．3．（2021·广东汕头·高三期末）已知i为虚数单位，复数z满足：z(1-i)=4-3i，则z=（    ）A． B． C． D．4.复数（    ）A． B． C． D．5.已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（    ）A．4 B．2 C．0 D．6．若 （为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．7．若复数的虚部小于0，，且，则（    ）A． B． C． D．考点三：复数的几何意义【典例例题】例1.复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（     ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【方法技巧与总结】复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．【变式训练】1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ）A． 第一象限     B． 第二象限     C． 第三象限     D． 第四象限3．若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（    ）A．4 B．2 C． D．4．已知复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在第（    ）象限A．一 B．二 C．三 D．四5．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．6．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．已知复数z满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【巩固练习】一、单选题1．已知复数，则的虚部为（    ）A． B． C． D．2．已知复数，则的共轭复数的虚部为（    ）A． B． C． D．3．已知，且，其中，为实数，则（    ）A．1 B．3 C． D．54．复数z满足，则（    ）A．1 B．2 C． D．35．已知为虚数单位，则复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知复数z满足，则（    ）．A．5 B． C．22 D．27．已知复数满足，若为纯虚数，则（    ）A． B．1 C． D．28．复平面内表示复数，则（    ）A． B． C．4 D．9．欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（    ）A．的实部为 B．在复平面内对应的点在第一象限C． D．的共轭复数为二、多选题10．（2022·河北·高三阶段练习）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（    ）A．若，则B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆C．若，满足，则的取值范围为D．若，则的取值范围为11．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（    ）A．复数在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的虚部为C．复数的共轭复数 D．复数的模三、填空题12．己知，则___________．13．若复数为纯虚数，则___________.14．如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，若，则复数___________.15．设为实数，复数，（其中i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_______.交换律结合律乘法对加法的分配律