高中数学高考课时跟踪检测（十七） 函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略 作业

课时跟踪检测（十七）  “函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略1．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点，等价于方程a＝在(0，＋∞)上有2个根，等价于y＝a与g(x)＝(x>0)的图象有2个交点．g′(x)＝，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－g(x)极大值所以g(x)的最大值为g(1)＝1.因为x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，由洛必达法则可知：g(x)＝ ＝ ＝0，所以0<a<g(1)，所以0<a<1.故实数a的取值范围为(0,1)．2．已知函数f(x)＝axex(a∈R)，g(x)＝ln x＋x＋1.若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．解：f(x)≥g(x)恒成立，即axex≥ln x＋x＋1恒成立．因为x＞0，所以a≥.令h(x)＝，则h′(x)＝.令p(x)＝－ln x－x，则p′(x)＝－－1＜0，故p(x)在(0，＋∞)上单调递减，又p＝1－＞0，p(1)＝－1＜0，故存在x0∈，使得p(x0)＝－ln x0－x0＝0，故ln x0＋x0＝0，即x0＝e－x0.当x∈(0，x0)时，p(x)＞0，h′(x)＞0；当x∈(x0，＋∞)时，p(x)＜0，h′(x)＜0.所以h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．所以h(x)max＝h(x0)＝＝1.故实数a的取值范围是[1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.(1)试用a表示出b，c；(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝a－，由得b＝a－1，c＝1－2a.(2)题设即“a≥(x>1)，或a≥(x>1) 恒成立”．设g(x)＝(x－1)2＋(x－1)－xln x(x≥1)，则g′(x)＝x－ln x－1(x≥1)，又g″(x)＝1－恒大于0(x>1)，所以g′(x)单调递增(x>1)，所以g′(x)>g′(1)＝0，所以g(x)单调递增(x>1)，所以g(x)≥g(1)＝0(x≥1)，当且仅当x＝1时g(x)＝0，故<(x>1)， ＝.所以若a≥(x>1)恒成立，则a≥，即a的取值范围是.4．已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；(2)证明：ln x1＋ln x2>2.解：(1)f′(x)＝＝(x>0)，由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当0<x<ea＋1时，f′(x)>0，当x>ea＋1时，f′(x)<0，所以f(x)在x＝ea＋1时取得极值，所以ea＋1＝e，解得a＝0.所以f(x)＝－m(x>0)，f′(x)＝，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(e)＝－m.又x→0(x>0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，由f(x)有两个零点x1，x2，得解得0<m<.所以实数m的取值范围为.(2)证明：不妨设x1<x2，由题意知则ln x1x2＝m(x1＋x2)，ln＝m(x2－x1)⇒m＝.欲证ln x1＋ln x2>2，只需证ln x1x2>2，只需证m(x1＋x2)>2，即证ln>2.即证ln>2，设t＝>1，则只需证ln t>，即证ln t－>0.记u(t)＝ln t－(t>1)，则u′(t)＝－＝>0.所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以u(t)>u(1)＝0，所以原不等式成立，故ln x1＋ln x2>2.5．已知函数f(x)＝kex－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．(1)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，求k的取值范围，并证明：0<f(x1)<1.解：(1)当k＝2时，f(x)＝2ex－x2，则f′(x)＝2ex－2x.令h(x)＝2ex－2x，h′(x)＝2ex－2，由于x∈(0，＋∞)，故h′(x)＝2ex－2>0，于是h(x)＝2ex－2x在(0，＋∞)上为增函数，所以h(x)＝2ex－2x>h(0)＝2>0.即f′(x)＝2ex－2x>0在(0，＋∞)上恒成立，从而f(x)＝2ex－x2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝2ex－x2>f(0)＝2.(2)函数f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′(x)＝kex－2x＝0的两个根，即方程k＝有两个根．设φ(x)＝，则φ′(x)＝，当x＜0时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增且φ(x)＜0；当0＜x＜1时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增且φ(x)>0；当x>1时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减且φ(x)>0.作出函数φ(x)的图象如图所示，要使方程k＝有两个根，只需0<k<φ(1)＝，故实数k的取值范围是.证明：由图可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0<x1<1<x2，由f′(x1)＝ke x1－2x1＝0得k＝，所以f(x1)＝ke x1－x＝e x1－x＝－x＋2x1＝－(x1－1)2＋1.由于x1∈(0,1)，所以0<－(x1－1)2＋1<1.所以0<f(x1)<1.