高中数学高考卷02-2020年高考数学（理）名校地市好题必刷全真模拟卷（解析版）

2020年高考数学（理）名校地市好题必刷全真模拟卷02（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（　　） A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣3，1）【答案】C【解析】A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），故选：C．2．若纯虚数z满足z（1﹣2i）=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，则实数a的值等于（　　） A．﹣2 B．-12 C．2 D．12【答案】C【解析】设z=bi（b≠0），由z（1﹣2i）=a+i，得bi（1﹣2i）=a+i，即2b+bi=a+i，∴b=1，a=2．故选：C．3．执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是（　　） A．[e﹣2，1] B．[1，e] C．[0，1] D．[e﹣2，e]【答案】C【解析】由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s=&et-1，t∈[-1，1)&log3t，t∈[1，3]的值域，当t∈[﹣1，1）时，s=et﹣1∈[e﹣2，1），当t∈[1，3]时，s=log3t∈[0，1]，故输出s的取值范围是[0，1]，故选：C．4.设x，y满足约束条件&x-y+1≥0&x+2y-2≥0&4x-y-8≤0，则z=|x+3y|的最大值为（　　） A．15 B．13 C．3 D．2【答案】A【解析】由约束条件&x-y+1≥0&x+2y-2≥0&4x-y-8≤0作出可行域如图，联立&x-y+1=0&4x-y-8=0，解得A（3，4），由图可知，z=|x+3y|=x+3y，化为y=﹣x3+z3．当直线y=﹣x3+z3过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为15．故选：A．5.已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=22，PA=PB=PC=3，则球O的表面积为（　　） A．9π B．9π4 C．4π D．π【答案】A【解析】设AB中点为D，则D为△ABC的外心，因为PA=PB=PC=3，易证PD⊥面ABC，，所以球心O在直线PD上，又PA=3，AB=22，算得PD=1，设球半径为R，则△AOD中，（R﹣1）2+2=R2，可得：R=32．则球O的表面积S=4πR2=9π，故选：A．6.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，设函数g（x）=（12）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期为2．∴f（1﹣x）=f（x﹣1）=f（x+1），故f（x）的图象关于直线x=1对称．又g（x）=（12）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x=1对称，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．故选：B．7.．在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM→=2MA→，CN→=2NA→，则BC→⋅OM→的值为（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【答案】C【解析】解法Ⅰ，由题意，BM→=2MA→，CN→=2NA→，∴BMMA=CNNA=2，∴BC∥MN，且BC=3MN，又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣12）=7，∴MN=7；∴BC=37，∴cos∠OMN=OM2+MN2-ON22OM⋅MN=1+7-42×1×7=27，∴BC→•OM→=|BC→|×|OM→|cos（π﹣∠OMN）=37×1×（﹣27）=﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM→=2MA→，CN→=2NA→，知BC→=AC→﹣AB→=3AN→﹣3AM→=﹣3OM→+3ON→，∴BC→⋅OM→=（﹣3OM→+3ON→）•OM→=﹣3OM→2+3ON→•OM→=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．8.若lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，则x的值等于（　　） A．1 B．0或18 C．18 D．log23【答案】D【解析】由lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，得2lg（2x+1）=lg2+lg（2x+5），∴lg（2x+1）2=lg2（2x+5），即（2x+1）2=2•2x+10，整理得：（2x）2=9，即2x=3，∴x=log23．故选：D．9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，b=2，则△ABC面积的最大值是（　　） A．1 B．3 C．2 D．4【答案】B【解析】∵2bcosB=acosC+ccosA，∴可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=12．B=60°由余弦定理可得ac=a2+c2﹣4，∴由基本不等式可得ac=a2+c2﹣4≥2ac﹣4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，∴从而△ABC面积S=12acsinB=3，故△ABC面积的最大值为3．故选：B．10.已知函数，则下列判断错误的是A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．的值域为 D．的图象关于直线对称【答案】B【解析】因为，所以其最小正周期为，A正确；因为，所以，C正确；由得，即函数的对称轴为，D正确；由得，即函数的对称中心为，所以B错误.故选B.11. 已知双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，则此双曲线的离心率等于（　　） A．2 B．3 C．62 D．6【答案】B【解析】双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx﹣ay=0，则：&bx-ay=0&x24+y2=1，消去y可得：x=±2aa2+4b2，y=±2ba2+4b2一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，可得：4a2+4b2a2+4b2=43，可得2a2=b2=c2﹣a2，解得e=ca=3．故选：B．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2ex＜0成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）【答案】B【解析】设F(x)=f(x)ex，则F'(x)=f'(x)-f(x)ex＜0，即函数F（x）在R 上单调递减，因为f'（x）=f'（4﹣x），即导函数y=f'（x）关于直线x=2对称，所以函数y=f（x）是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于f（4）=0，即函数y=f（x）过点（4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数y=f（x）上，所以有f（0）=2，所以F(0)=f(0)e0=2，而不等式f（x）﹣2ex＜0即f(x)ex＜2，即F（x）＜F（0），所以x＞0，故使得不等式f（x）﹣2ex＜0成立的x的取值范围是（0，+∞）．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是　　．【答案】∃x∈R，ex≤0【解析】（因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是：∃x∈R，ex≤0．故答案为：∃x∈R，ex≤0．14.已知函数 f（x）=2lnx 和直线 l：2x﹣y+6=0，若点 P 是函数 f（x）图象上的一点，则点 P到直线 l 的距离的最小值为　　．【答案】：855．【解析】f′（x）=2x，设与直线l平行且与函数f（x）的图象相切于点P（x0，y0）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则2x0=2，解得x0=1．∴P（1，0）．∴点 P到直线 l 的距离的最小值为切点P到直线l的距离d=|2-0+6|5=855．故答案为：855．15.联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有　25　种．【答案】25．【解析】联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，需要分为：粮食和药品都有，方法1种；一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法；一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法；两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法；方法总数是：25．故答案为：25．16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC，AB＝2，BC＝，AC＝3，E，F分别为AC，PB的中点，EF＝，则球O的体积为_______【答案】【解析】由已知可得，因，所以点在内的投影为的外心，所以平面，，所以，所以，又球心在上，设，则，所以，所以球体积，. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．【解答】（I）f(x)=2sin2xcosπ6+cos2x+a=3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+π6)+a∴f（x）的最小正周期，T=2πω=2π2=π（II）因为y=sinx的减区间为：2kπ+π2≤x≤2kπ+3π2，k∈Z所以2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2即kπ+π6≤x≤kπ+2π3（k∈Z）时，函数f（x）单调递减，故所求区间为[kπ+π6，kπ+2π3](k∈Z)（III）x∈[0，π2]时，2x+π6∈[π6，7π6]∴x=π2时f（x）取得最小值∴2sin(2⋅π2+π6)+a=-2×12+a=-2∴a=-1．18．（12分） 如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，AB=BC=12AD=1，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：PD⊥AB；（2）点M在棱PC上，且PM=λPC，若二面角M﹣AB﹣D的余弦值为217，求实数λ的值．【解答】证明：（1）∵平面PAD⊥底面ABC，∠BAD=∠ABC=90°，∴AB⊥AD，∵平面PAD∩底面ABC=AD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴PD⊥AB．解：（2）取AD中点O，连结CO、PO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），P（0，0，3），设M（a，b，c），由点M在棱PC上，且PM=λPC，得（a，b，c﹣3）=λ（1，0，﹣3），∴a=λ，b=0，c=3-3λ，AB→=（1，0，0），AM→=（λ，1，3-3λ），设平面ABM的法向量n→=（x，y，z），则&n→⋅AB→=x=0&n→⋅AM→=λx+y+(3-3λ)z=0，取z=1，得n→=（0，3λ﹣3，1），平面ABD的法向量m→=（0，0，1），∵二面角M﹣AB﹣D的余弦值为217，∴|cos＜m→，n→＞|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=1(3λ-3)2+1=217，解得λ=13或λ=53（舍），∴实数λ的值为13．19．（12分）某二手车交易市场对某型号的二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（1）试求y关于x的回归直线方程：（参考公式：b^=i=1nxiyi-n⋅xyi=1nxi2-nx2，a^=y﹣b^x．）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？【解答】解：（1）由已知：x=6，y=10，i=15xiyi=242，i=15xi2=220，则 b^=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2yi-nx2=-1.45，a^=y-b^x=18.7，所以回归直线的方程为ŷ=-1.45x+18.7．（2）z=﹣1.45x+18.7﹣（0.05x2﹣1.75x+17.2）=﹣0.052x2+0.3x+1.5=﹣0.05（x﹣3）2+1.95，所以预测当x=3时，销售利润z取得最大值．20．（12分）已知函数 ．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论的单调性； （ = 3 \* ROMAN III）若存在最大值，且，求的取值范围．【解答】 解：（Ⅰ）当时，．． 所以．又，所以曲线在点处的切线方程是，即．（Ⅱ）函数的定义域为，． 当时，由知恒成立，此时在区间上单调递减．当时，由知恒成立，此时在区间上单调递增． 当时，由，得，由，得，此时在区间内单调递增，在区间内单调递减． （ = 3 \* ROMAN III）由（Ⅱ）知函数的定义域为，当或时，在区间上单调，此时函数无最大值． 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时函数有最大值． 最大值．因为，所以有，解之得．所以的取值范围是．21．（12分）已知椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线．【解答】 ( = 1 \* ROMAN I)由题可知： 解得， 椭圆C的方程为 （ = 2 \* ROMAN II）设直线：，，，，，由得.所以，. 而，∴三点共线（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣42ρcos（θ﹣π4）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）由ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0，得ρ2-42ρ(cosθcosπ4+sinθsinπ4)+6=0，即ρ2-42ρ(22cosθ+22sinθ)+6=0，ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，令x﹣2=2cosα，y﹣2=2sinα．得圆的参数方程为&x=2+2cosα&y=2+2sinα （α为参数）；（2）由（1）得：x+y=4+2(cosα+sinα)=4+2sin（α+π4），∴当sin（α+π4）=1时，x+y的最大值为6，当sin（α+π4）=﹣1时，x+y的最小值为2．故x+y的最大值和最小值分别是6和2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知不等式|x|+|x﹣3|＜x+6的解集为（m，n）．（1）求m，n的值；（2）若x＞0，y＞0，nx+y+m=0，求证：x+y≥16xy．【解答】（1）解：不等式|x|+|x﹣3|＜x+6，当x≥3时，2x﹣3＜x+6，即x＜9，可得3≤x＜9；当0＜x＜3时，3＜x+6，即x＞﹣3，可得0＜x＜3；当x≤0时，3﹣2x＜x+6，即x＞﹣1，可得﹣1＜x≤0．综上可得，原不等式的解集为（﹣1，9），由不等式的解集为（m，n），可得m=﹣1，n=9；（2）证明：由（1）可得x＞0，y＞0，9x+y=1，则1x+1y=（9x+y）（1x+1y）=9+1+yx+9xy≥10+2yx⋅9xy=16，当且仅当y=3x=14时，取得等号，则x+y≥16xy．使用年数246810售价16139.574.5