中考数学二轮培优专题填空压轴题三（教师版）

填空压轴题三1．（2021•乐山）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为 　      　．【答案】【详解】过点作轴于点，作交于点，直线轴，故，当的值最大时，则值最大，故最小，即最大时，最大，即当最大时，的值最大，设，则，，，，，，，，即，，，故当时，取得最大值，故2．（2021•凉山州）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；照这样拼图，则第个图形需要　    　根火柴棍．【答案】【详解】设第个图形需要为正整数）根火柴棒，观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：，第二个图形需要火柴棍：；第三个图形需要火柴棍：，，第个图形需要火柴棍：．3．（2021•济南）如图，一个由8个正方形组成的“”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为 　     　．【答案】【详解】如下图所示，连接，则，由题意得，小正方形的边长为1，，四边形是矩形，，，，同理，，又，，，，，，，，在和中，，，，．4．（2021•镇江）如图，等腰三角形中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则长的最大值为 　      　．【答案】【详解】将线段绕点逆时针旋转，得到线段，，是等腰三角形，，过点作于点，，，，，当最大时，取最大值，即点与点重合时，最大，过点作于点，，，，，，，最大值为：．5．（2021•十堰）如图，在中，，，，点是平面内一个动点，且，为的中点，在点运动过程中，设线段的长度为，则的取值范围是 　       　．【答案】【详解】如图，取的中点，连接，，在中，，，，，点是的中点，，点是的中点，点是的中点，是的中位线，，在中，，，点，点是定点，点是动点，且点以点为圆心，长为半径的圆上运动，当点，，三点共线，且点在线段上时，取得最小值，当点，，三点共线，且点在射线上时，取得最大值，综上，的取值范围为：．6．（2021•吉林）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 　       　（结果保留．【答案】【详解】连接，，，，为等边三角形，，，，阴影部分的面积为．7．（2021•眉山）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 　        　．【答案】【详解】如图，过点作于，四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，，，当点，点，点共线且时，有最小值为，，，，，的最小值为8．（2021•邵阳）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为 　       　．【答案】3【详解】，，，，矩形的对边，，，，，由勾股定理得，9．（2021•宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 　        　平方厘米．（圆周率用表示）【答案】【详解】过作于，厘米，，，厘米，厘米，的面积为（厘米，（厘米，莱洛三角形的面积厘米10．（2021•资阳）如图，在菱形中，，交的延长线于点．连结交于点，交于点．于点，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 　        　．【答案】①②③④【详解】四边形是菱形，对角线所在直线是菱形的对称轴，沿直线对折，与重合，，故①正确，，，，，又，，，，，故②正确，菱形中，，，，，，设，，，中，，，，，设，则，，又，，，，，故③正确，设，中，，，中，，，，，中，，中，，，，，中，，故④正确11．（2021•贵港）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，且，则的最大值是 　        　．【答案】8【详解】根据题意知：．因为，所以当时，．即的最大值是8．12．（2021•广西）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，．当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 　        　．【答案】【详解】过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，如图：作图可知：四边形和四边形是平行四边形，，，且，，且，四边形是平行四边形，，关于直线的对称点，，，，即此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度，而、为定值，此时四边形的周长最小，关于直线的对称点，，四边形是平行四边形，，，，设直线解析式为，则，解得，直线解析式为，令得，，，，，即将抛物线向右移个单位后，四边形的周长最小，此时抛物线为13．（2021•荆州）如图，过反比例函数图象上的四点，，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，，再过，，，分别作轴，，，的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为，，，，，则与的数量关系为 　        　．【答案】【详解】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是个定值，，，，，，．14．（2021•新疆）如图，已知正方形边长为1，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，．若，则　        　．【答案】【详解】如图，过点作于点，设，则，由旋转性质得：，，四边形是正方形，，，，，，点，，在同一条直线上，，，，，，解得：（舍去），，，，，在中，，15．（2021•营口）如图，矩形中，，，点是边上一点，，连接，点是延长线上一点，连接，且，则　         　．【答案】6【详解】如图，连接，过点作于．四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，16．（2021•海南）如图，在矩形中，，，将此矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则的长为 　        　，的长为 　       　．【答案】6，【详解】四边形是矩形，，，；连接，，，，，，，在和△中，△，，，，由题意知：；设，则，在中，，由勾股定理得：，解得：，，，，，，，，，17．（2021•哈尔滨）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．若，，则的长为 　       　．【答案】【详解】四边形是矩形，，，，，又，，在和中，，，，，又，，，18．（2021•达州）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 　      　．【答案】【详解】是等边三角形，，，在和中，，，，，，如图，过点，点，点作，连接，，点在上运动，，，，，，，，，，垂直平分，，，，，，在中，，当点在上时，有最小值，的最小值19．（2021•岳阳）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是 　       　（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．【答案】②④⑤【详解】①垂直平分，，又在中，，，，故①错误；②由题可知，四边形是的内接四边形，，故②正确；③连接，若，则，的长为，故③错误；④是的切线，，又，，，，故④正确；⑤在中，，，，由①，，又，，，设，则，则，在中，由勾股定理可得，，即，解得，．故⑤正确．20．（2021•呼和浩特）若把第个位置上的数记为，则称，，，，有限个有序放置的数为一个数列．定义数列的“伴生数列” 是：，，，，，其中是这个数列中第个位置上的数，，2，，且并规定，．如果数列只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列” 是 　        　．【答案】0，1，0，1【详解】，，，，，，，， “伴生数列” 是：0，1，0，121．（2021•永州）若，均为实数，，，则：（1）　      　；（2）　      　．【答案】2021；1【详解】（1），（2）由（1）知，，，，22．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点落在直线上，再将△绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去若点的坐标为，则点的纵坐标为 　       　．【答案】【详解】轴，点，，则点的纵坐标为3，代入，得：，得：，即，，，，由旋转可知：，，，，，，设，则，解得：或（舍，则，即点的纵坐标为23．（2021•随州）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为 　       　；若，则的值为 　       　．【答案】；【详解】①在中，，为的中点，，平分，，且点为的中点，，且，即；②，，，，，，，，，，，，，即，是等腰直角三角形，；由（1）知，，．24．（2021•随州）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为 　       　．【答案】【详解】，利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，且，，再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：．25．（2021•广元）如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有 　         　（填入正确的序号即可）．【答案】①②③⑤【详解】取的中点，连接，．，四边形是正方形，，，，，，，，四点共圆，，，，故①正确，将绕点顺时针旋转得到，，，，，，共线，，，，在和中，，，，，，故②正确，连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，在和中，，，，，，，，，，，故③正确，，，的长度是变化的，的面积不是定值，故④错误，，，，四点共圆，，，，，，，，，故⑤正确26．如图，在矩形中，，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点．交于点，连接，．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号 　        　．【答案】①②④【详解】四边形是矩形，，，，，，，，在和中，，，，，，四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，故①正确，，，，，，，，，，，，，故②正确，若是等边三角形，则，，这个与题目条件不符合，故③错误，四边形是矩形，，，，是等边三角形，，，，，，，四边形是平行四边形，四边形是菱形；故④正确．27．（2021•沈阳）如图，中，，，．四边形是正方形，点是直线上一点，且．是线段上一点，且．过点作直线与平行，分别交，于点，，则的长是 　        　．【答案】或【详解】中，，，，，，，为直角三角形，①当点位于点左侧时，如图：设直线交于点，，，，又四边形是正方形，且，，，即，解得：，，，，，，解得：，，，，，，，，解得：；②当点位于点右侧时，如图：与①同理，此时，，解得：，综上，的长为或28．（2021•本溪）如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是 　        　（填序号即可）．【答案】①③④【详解】①四边形是正方形，．由折叠可知：，．，，，．，．，．故①正确；②过点作于，由折叠可得：，，，，在和中，，．，．，，，，②不正确；③由折叠可得：，，，，即平分．③正确；④连接，，，如图，，，，，，，．．由折叠可得：，．．由折叠可知：．．，，，，，，四点共圆，．在和中，，．，，，，．，，．．．④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．29．（2021•株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图 “”为“蜨”，同“蝶” ，它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只” ．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件 “一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则　         　度．【答案】21【详解】点与点关于直线对称，，，，和为两个全等的等腰直角三角形，，，，，，，即是等腰三角形，．30．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第个网格中所有线段的和为 　       　（用含的代数式表示）【答案】【详解】第一个图形有个小正方形，所有线段的和为，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为，，按此规律，则第个网格中所有线段的和为；