高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2 10 导数的概念及其运算 Word版含答案

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(1)了解导数概念的实际背景．
(2)理解导数的几何意义．
2．导数的运算
(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq \r(x) 的导数．
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
知识点一 导数的概念及几何意义
导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数：
称函数f′(x)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
易误提醒
1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[自测练习]
1．(2015·陕西一检)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为( )
A．0 B．2
C．1 D．3
解析：因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－eq \f(3,x)＝－1，得x＝1，x＝－eq \f(3,2)(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
答案：B
2．(2015·洛阳期末)函数f(x)＝exsin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
解析：因为f′(x)＝exsin x＋excs x，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为1，所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为eq \f(π,4)，故选C.
答案：C
知识点二 导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
(sin x)′＝cs_x，(cs x)′＝－sin_x，(ax)′＝axln_a，(ex)′＝ex，(lgax)＝eq \f(1,xln a)，(ln x)′＝eq \f(1,x).
2．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积．
易误提醒
1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q，(cs x)′＝－sin x.
2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.
3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
[自测练习]
3．下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C．(3x)′＝3xlg3e
D．(x2cs x)′＝－2sin x
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝x′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝1－eq \f(1,x2)；(3x)′＝3xln 3；(x2cs x)′＝(x2)′cs x＋x2(cs x)′＝2xcs x－x2sin x.
答案：B
4．若函数f(x)＝2x＋ln x且f′(a)＝0，则2aln 2a＝( )
A．1 B．－1
C．－ln 2 D．ln 2
解析：f ′(x)＝2xln 2＋eq \f(1,x)，由f′(a)＝2aln 2＋eq \f(1,a)＝0，得2aln 2＝－eq \f(1,a)，则a·2a·ln 2＝－1，即2aln 2a＝－1.
答案：B
考点一 导数的运算|
1．(2015·济宁模拟)已知f(x)＝x(2 014＋ln x)，f′(x0)＝2 015，则x0＝( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：由题意可知f′(x)＝2 014＋ln x＋x·eq \f(1,x)＝2 015＋ln x．由f′(x0)＝2 015，得ln x0＝0，解得x0＝1.
答案：B
2．若函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝eq \f(1,x)－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案：8
3．已知f1(x)＝sin x＋cs x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋f2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋…＋f2 016eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝________.
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cs x－sin x，
f3(x)＝(cs x－sin x)′＝－sin x－cs x，
f4(x)＝－cs x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cs x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋f2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋…＋f2 016eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))
＝504eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋f2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋f3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋f4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))))＝0.
答案：0
求导运算应遵循的两个原则
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

考点二 导数的几何意义|
导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有：
1．求切线方程问题．
2．确定切点坐标问题．
3．已知切线问题求参数．
4．切线的综合应用．
探究一 求切线方程问题
1．(2015·云南一检)函数f(x)＝eq \f(ln x－2x,x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0
C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.
答案：C
探究二 确定切点坐标问题
2．(2015·洛阳期末)已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cs x的图象与直线l相切于P点，若l⊥m，则P点的坐标可能是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(3π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－\f(π,2)))
解析：因为直线m的斜率为－eq \f(1,2)，l⊥m，所以直线l的斜率为2.因为函数y＝3x＋cs x的图象与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b＝3a＋cs a且y′|x＝a＝3－sin a＝2，所以sin a＝1，解得a＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以b＝eq \f(3π,2)＋6kπ(k∈Z)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋6kπ))(k∈Z)，
当k＝0时，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故选B.
答案：B
探究三 已知切线求参数范围
3．(2015·河北五校联考)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,8)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(e2,8)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(e2,4)))
解析：结合函数y＝ax2(a>0)和y＝ex的图象可知，要使曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，只要ax2＝ex在(0，＋∞)上有解，从而a＝eq \f(ex,x2).令h(x)＝eq \f(ex,x2)(x>0)，则h′(x)＝eq \f(ex·x2－ex·2x,x4)＝eq \f(x－2ex,x3)，令h′(x)＝0，得x＝2，易知h(x)min＝h(2)＝eq \f(e2,4)，所以a≥eq \f(e2,4).
答案：C
探究四 切线的综合应用
4．(2015·重庆一诊)若点P是函数f(x)＝x2－ln x图象上的任意一点，则点P到直线x－y－2＝0的最小距离为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2)
C.eq \f(1,2) D．3
解析：由f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1得x＝1(负值舍去)，所以曲线y＝f(x)＝x2－ln x上的切线斜率为1的点是(1,1)，所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)，故选B.
答案：B
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)求解．

4.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误
【典例】 若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－eq \f(25,64) B．－1或eq \f(21,4)
C．－eq \f(7,4)或－eq \f(25,64) D．－eq \f(7,4)或7
[解析] 因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，xeq \\al(3,0))，
则在该点处的切线斜率为k＝3xeq \\al(2,0)，
所以切线方程为y－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq \\al(2,0)x－2xeq \\al(3,0)，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝eq \f(3,2)，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9相切，可得a＝－eq \f(25,64)，
当x0＝eq \f(3,2)时，由y＝eq \f(27,4)x－eq \f(27,4)与y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9相切，可得a＝－1，所以选A.
[答案] A
[易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误．
[防范措施]
(1)对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．
[跟踪练习] (2015·兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．
解析：因为函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋a＝2，,3＝1＋a＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝3.))
答案：3
A组 考点能力演练
1．(2015·太原一模)曲线y＝x2上点P处的切线的倾斜角为eq \f(π,4)，则点P的坐标为( )
A．(0,0) B．(2,4)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))
解析：因为y＝x2，所以y′＝2x，taneq \f(π,4)＝2x，所以x＝eq \f(1,2)，代入y＝x2，得y＝eq \f(1,4)，因此点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，故选D.
答案：D
2．(2015·宝鸡质检)曲线y＝1－eq \f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：∵y＝1－eq \f(2,x＋2)＝eq \f(x,x＋2)，∴y′＝eq \f(x＋2－x,x＋22)＝eq \f(2,x＋22)，y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线的斜率为2，∴所求切线的方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1，故选A.
答案：A
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：分别作出曲线y＝f(x)上A，B两点的切线，设曲线y＝f(x)上A，B两点的切线的斜率分别为kA，kB，则由图可知kB>kA，即f′(xA)答案：B
4．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，∴f′(3)＝－eq \f(1,3).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
答案：B
5．已知函数f(x)＝ln x＋tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的导函数为f′(x)，若使得f′(x0)＝f(x0)成立的x0满足x0<1，则α的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
解析：∵f′(x)＝eq \f(1,x)，∴f′(x0)＝eq \f(1,x0)，由f′(x0)＝f(x0)，得eq \f(1,x0)＝ln x0＋tan α，∴tan α＝eq \f(1,x0)－ln x0.又01，即tan α>1，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，故选B.
答案：B
6．(2015·长春二模)若函数f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f′(2)＝________.
解析：由f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，得f′(2)＝eq \f(1－ln 2,4).
答案：eq \f(1－ln 2,4)
7．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，eq \r(3))，那么曲线y＝f(x)上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．
解析：根据已知可得f′(x)≥ eq \r(3)，即曲线y＝f(x)上任意一点的切线的斜率k＝tan α≥ eq \r(3)，结合正切函数的图象，可知α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
8．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：法一：∵y′＝1＋eq \f(1,x)，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.又切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝ax2＋a＋2x＋1，,y＝2x－1，))得ax2＋ax＋2＝0，∵Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8.
法二：∵y′＝1＋eq \f(1,x)，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1，又切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0.∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴令2ax＋a＋2＝2，得x＝－eq \f(1,2)，代入y＝2x－1，得y＝－2，∴点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))在y＝ax2＋(a＋2)x＋1的图象上，故－2＝a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋(a＋2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋1，∴a＝8.
答案：8
9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝b＝0，,f ′0＝－aa＋2＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，
∴a≠－eq \f(1,2).
∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
10．(2016·临沂一模)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))
解得－1≤k<0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－eq \r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq \r(2)，＋∞)．
B组 高考题型专练
1．(2015·高考福建卷)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)))eq \f(1,k－1)
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k－1)))eq \f(k,k－1)
解析：取满足题意的函数f(x)＝2x－1，若取k＝eq \f(3,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(1,3)11＝eq \f(\f(11,10),\f(11,10)－1)＝eq \f(k,k－1)，所以排除D；取满足题意的函数f(x)＝10x－1，若取k＝2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝4>1＝eq \f(1,2－1)＝eq \f(1,k－1)，所以排除B.故结论一定错误的是C.
答案：C
2．(2014·高考江西卷)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e.即P(e，e)．
答案：(e，e)
3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
4．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：f′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋x·\f(1,x)))＝a(ln x＋1)，因为f′(1)＝3，所以f′(1)＝a＝3.
答案：3
5．(2015·高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝eq \f(1,x)(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝eq \f(1,x)上，所以b＝1，故P(1,1)．
答案：(1,1)