高中数学高考黄金卷05（理）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

黄金卷05（新课标Ⅱ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴，故选B。2．已知是复数，为的共轭复数。若命题：，命题：，则是成立的(  )。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，∴，由，设()，得，∴或，即或，∴是成立的充分不必要条件，故选A。3．某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法正确的是(  )。A、客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧B、客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分C、客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度D、客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同【答案】B【解析】根据雷达图可列表如下：评分类别稳固性创新性外观造型做工用料成本设计一得分分分分分分设计二得分分分分分分根据表格分析可得A、C、D错误，选项B正确，故选B。4．音乐是由不同频率的声音组成的。若音()的频率为，则简谱中七个音()、()、()、()、()、()、()组成的音阶频率分别是、、、、、、，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶。上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值，记为、() ，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是(  )。(参考数据：、)A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意知，，显然A、B错误，由，∴C错误，而，∴D正确，故选D。5．有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有(  )。A、种B、种C、种D、种【答案】B【解析】首先将甲排在中间，乙、丙位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，选出一人排在左侧，有种方法，另外一人排在右侧，有种方法，余下两人排在剩下的两个空位，有种方法，综上：不同的站法有种，故选B。6．宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】模拟程序运行，可得：、，，，，不满足，执行循环，，，，不满足，执行循环，，，，不满足，执行循环，，，，满足，退出循环，输出的值为，故选C。7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图，该几何体是底面为直角形(上底是下底是，高是)，高为的四棱推，∴该几何体的体积，故选A。8．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想。世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对。其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”。在不超过的素数中，任选两个不同的素数、()，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、、、、、、、，共个，∴，，故，故选D。9．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】做图像如图，令，则原方程可化为，    根据图像可知，原方程恰好有个不同的实数根，只需有两个不等的实数根、，由韦达定理得，，解得，，于是，故选D。10．已知函数()，若集合含有个元素，则实数的取值范围是(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】，∵，∴，解得：或()，∴或()，设直线与在上从左到右的第四个交点为，第五个交点为，则(此时)，(此时)，由于方程在上有且只有四个实数根，则，即，解得，故选D。11．已知过椭圆号的右焦点的直线，斜率存在且与椭圆交于、两点，若的垂直平分线与轴交于点，则点横坐标的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】若真线为轴，则垂直平分线为轴，∴；若直线与轴不平行，由已知得直线与轴不垂直，设直线方程为，联立得：，恒成立，设、，则，，设为线段的中点，∴，代入直线方程可得，则的垂直平分线的方程为，当时，，∵，∴，综上所述，，故选C。12．已知正四面体内接于球，点是底面三角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】如图，在正四面体中，设顶点在底面的射影为，则球心在上，在上，连接、，设正四面体的棱长为，则正四面体的高，设外接球半径为，在中，，即，解得，∴在中，，过点作外换球的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为，最大截面圆为过球心的大圆，半径为，由题设存在半径为的截面圆，∴，解得，故选C。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知与均为单位向量，且，则与的夹角是        。【答案】【解析】∵与是单位向量，∴，设向量、的夹角为，∵，∴，即，∴，又，∴。14．的展开式中的系数为        (用数字作答)。【答案】【解析】展开式的通项公式为：，则的通项公式为：，令，则的系数为，则的通项公式为：，令，则的系数为，∴的展开式中的系数为。15．已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为        。【答案】【解析】由题意得，在上有解，即在上有解，即函数与函数的图像在上有交点，函数的图像是由函数的图像左右平移得到的，且当的图像经过点时，函数与函数的图像有界交点，此时代入点，有，得，∴。16．在中，内角、、所对的边分别为、、，且点是的中点，若， ，则面积的最大值是        。【答案】【解析】如图，设，则，在和中，分别由余定理可得：，，两式相加整理得，∴①，由及正弦定理得，整理得②，由余弦定理的推论可得：，∴，把①代入②整理得：，又，当且仅当时等号成立，∴，即，∴，即面积的最大值是。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知正项数列的前项和为，且()，。(1)证明数列是等差数列，并求其前项和。(2)若，试求数列的前项和。【解析】(1)当时，由得：，                              1分∴，                         2分∴，                                      3分∵数列是正项数列，∴，∴，                     4分∴数列是等差数列，首项为，公差为，∴，                    5分∴；                                                     6分(2)由(1)知，，                                     8分∴                   9分。          12分18．（12分）幼儿园组织“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让小朋友们去猜哪一个花轿里是自已的妈妈。假设各位小朋友都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的。(1)已知妮妮的妈妈在某个花轿里，如果给妮妮两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自己妈妈的概率；(2)如果四位妈妈所对应的四位小朋友一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为，求的分布列与数学期望。【解析】(1)记“妮妮选到自己妈妈”为事件，则；                       3分(2)由题意知的所有可能值为、、、，                                    4分则，                                                     5分，                                                     6分，                                                   7分，                                                      8分∴随机变量的分布列：                                                   10分则。                                    12分19．（12分）如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，， 平面平面，，，为的中点。(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的大小。       【解析】(1)∵四边形为菱形，，，                       1分∴，∴，                                          2分又平面平面，平面平面，∴平面，                                                      3分又，∴平面；                                        4分(2)取的中点，的中点，连接、，∵平面，∴平面，∴、，又四边形是菱形，，是的中点，∴，故、、两两互相垂直，                                            6分以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴、、、，                         7分由图可知，平面的一个法向量为，                              8分设平面的法向量为，则，即，取，得平面的一个法向量为，                          10分设平面与平面所成角的平面角为，则，                     11分又∵，∴，∴平面与平画所成角为。             12分20．（12分）已知椭圆：()的右焦点与抛物线的焦点重合，以椭圆的短轴为直径的圆过椭圆的焦点。(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于、两点，直线：与椭圆在第一象限的交点为点，，求直线的方程。【解析】(1)∵抛物线的焦点为，∴，                               1分由椭圆的短轴为直径的圆过圆的焦点，则，                         2分又，得，，                                          3分∴椭圆的标准方程为；                                          4分(2)由(、)，得，                                     5分由得，即，可得，                               6分①当垂直轴时，，此时满足题意，∴此时直线的方程为：，                                            7分②当不垂直轴时，设、，直线的方程为，联立消去得：，则，，                                       9分代入可得：，代入和得：，化简得，解得，经检验满足题意，则直线的方程为，                          11分综上所述，直线的方程为或。                           12分21．（12分）已知函数。(1)讨论的单调性；(2)求证：当时 ，对都有。【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，     1分当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，             2分当时，即时，有两个根为、，，                3分∴当和时，，单调递增，  4分当时，，单调递减；                5分(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，∵对有，不妨设，∵在上单调递增，∴，则原式可以转化为，                          7分即有，即证，设，，                                        9分则，，当时，单调递增，，∵，∴，       10分当时，单调递增，∴，即，同理可证，即，则原不等式得证。                                                          12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为。(1)化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程；(2)设点，圆心，若直线与圆交手、两点，求的最大值。【解析】(1)圆的极坐标方程为，∴，                                                 2分∵，，，∴，∴圆的直角坐标标准方程为；                        4分(2)由(1)知圆的圆心的直角坐标为，则，∴，∴直线的参数方程为(为参数，)，                  6分将直线的参数方程代入得：，设点、对应的参数方程为、，则，， 8分，∴当时，取得最大值为。                              10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知，且。(1)求证：；(2)求证：。【解析】(1)∵，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，∴，                                        2分即，当且仅当时，等号成立，∵，                           4分∴，即，则不等式得证；                        5分(2)∵，且，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，                   8分∴，即，则不等式得证。                               10分