高中数学高考黄金卷04（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷04（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵，∴，∵，∴，故选B。
2．设复数满足，则复数( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】，∴，故选A。
3．等差数列前项和为，若、是方程的两根，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由韦达定理得：，，结合等差数列的性质可得：
，则，故选A。
4．射线测厚技术原理公式为，其中、分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅()低能射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢板的密度为，则钢板对这种射线的吸收系数为( )。
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到)
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由题意可知、、，代入得：，
即，即，故选C。
5．已知为第三象限角，且，则的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，
故，，∴，故选D。
6．某校举办“中华魂”《爱我中华》主题演讲比赛，聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分。现评委为选手李红的评分从低到高依次为、、…、，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别为( )。
A、；
B、；
C、；
D、；
【答案】D
【解析】根据题意，程序框图求的是，∴图中判断框空白处应填“”，
由茎叶图知、、、，∴，故选 D。
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】还原空间几何体如图，
可知该几何体为底面是正三角形的直三棱柱中的一个五面体，
其中为的中点，直三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，高为，
故该几何体的体积为，故选C。
8．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分。若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】设六角星的中心为点，分别将点与两个大等边三角形的六个交点连接起来，
则将中间的正六边形分成了六个全等的小等边三角形，
且与阴影部分六个小等边三角形也是全等的，∴所求的概率，故选C。
9．已知函数的图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，关于的方程
在上有两个不同实根，则实数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵的最大值为，最小值为，
其图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，
∴，解得，∴，∴
∴，当时，方程有两个不同实根，
∴，∴，故选B。
10．已知双曲线：(，)的左焦点为，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于点、，且满足，虚轴的上端点在圆内，则该双曲线离心率的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为连接、，如图所示，
由对称性可知，、关于原点对称，则，
又，∴四边形为平行四边形，
∴，则，∴，
∵虚轴的上端点在圆内，
∴，解得，则，即，
得，∴，故选A。
11．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，∴，
∵函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，
∴在和内各有一个根，，，，
即，在坐标系中画出其表示的区域，，
令，其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率，
分析可得，则，∴的取值范围是，故选D。
12．设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，，∴平面，
∴面面，记是的中点，从而，
∴平面，，
设球是与平面、平面、平面都相切的球，
由图得截面图及内切圆，
不妨设平面，于是是的内心，
设球的半径为，则，设，∵，
∴，，，
当且仅当，即时等号成立，
∴当时，满足条件的球最大半径为，故选A。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量、为单位向量，，若，则与所成角的余弦值为 。
【答案】
【解析】由数量积公式得，。
14．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼。已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为 。
【答案】
【解析】设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，
在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，
∵，∴。
15．在中，点是的中点，，且，，则 ， 。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】∵，∴，
在和中，分别由正弦定理得，，
又，∴两式相比得，即，
即，即，
则或，又，∴，故。
16．已知函数在区间上只有一个零点，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】由题意可知，在区间上只有一个根，
等同于在区间上只有一个根，
等同于与的图像有唯一一个公共点，
由得，则得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递减，
∴在区间内，当时取极小值也是最小值，∴当，
又，，且，∴作的图像如图，
则满足条件的的取值范围是。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
已知等比数列的前项和为，且()。
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和。
【解析】(1)当时，， 1分
当时，，即， 2分
∴等比数列的公比是，∴，即，故， 3分
故数列是首项为，公比为的等比数列，； 4分
(2)由(1)知，，又，∴，故，∴， 6分
则， 7分
， 8分
两式相减得：
， 11分
∴。 12分
18．（12分）
如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，。
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离。
【解析】(1)由平面，平面，则， 1分
由，是的中点，则， 2分
又，则平面， 3分
又平面，∴平面平面； 4分
(2)如图，取的中点，连结，设点到平面的距离为， 5分
由题意可知，，， 7分
∴，， 8分
又， 10分
∴点到平面的距离。 12分
19．（12分）
某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分。整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：

(1)在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；
(2)从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率。
(3)如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由。
【解析】(1)由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：
， 2分
∴对餐厅评分低于的人数为人， 4分
(2)对餐厅评分在范内的有人，设为、，
对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，
从这人中随机选出人的选法为：
、、、、、、、、、，共种， 6分
其中恰有人评分在范围内的选法包括：
、、、、、，共种， 8分
故人中恰有人评分在范围内的概率为， 9分
(3)从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由(1)得，抽样的人中，
餐厅评分低于的人数为，
∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为， 10分
餐厅评分低于分的人数为，
∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为， 11分
∴会选择餐厅用餐。 12分
20．（12分）
已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。
【解析】(1)设，，
以为切点的切线为，整理得：， 1分
同理：以为切点的切线为：， 2分
联立方程组：，解得， 3分
设直线的方程为：，
联立方程组得：， 5分
∴，，∴，∴点的轨迹方程为； 6分
(2)由(1)知：， 8分
又到直线的距离为：， 9分
∴， 11分
∴时，取得最小值，此时直线的方程为。 12分
21．（12分）
已知。
(1)求函数的极值；
(2)设，对于任意、，总有成立，求实数的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，， 1分
令，解得或， 2分
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减， 4分
∴在处取极小值为，在处取极大值为， 5分
(2)由(1)可知当时，的最大值为，
对于任意、，总有成立，
等价于恒成立，， 7分
①当时，∵，∴，
即在上单调递增，恒成立，符合题意，可取， 8分
②当时，设，，
∴在上单调递增，且，
则存在使得，
∴在上单调递减，则上单调递增，
又，∴不恒成立，不符合题意，舍去， 11分
综上，实数的取值范围为。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线。
(1)求曲线和的极坐标方程；
(2)设直线：，射线：，，若与曲线，直线分别交于、两点，求的最大值。
【解析】(1)将、代人得曲线的极坐标方程，
即，即， 2分
设，则，代入曲线的极坐标方程得曲线的极坐标方程，
即； 5分
(2)直线的极坐标方程为，设、，
则、， 6分
∴

， 9分
∴的最大值为。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，。
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若存在()，使不等式成立，求实数的取值范围。
【解析】(1)当时，不等式即， 1分
可化为或或， 2分
解得或或，则不等式的解集为， 4分
由得，∴不等式的解集为； 5分
(2)当()时，，，∴， 6分
于是原问题可化为存在()，
使，即成立，
设，，则， 7分
∵函数的图像为开口向上的抛物线，图像的对称轴为直线， 8分
∴在()上单调递减，， 9分
解得或，又，∴实数的取值范围是。 10分