高中数学高考黄金卷02（理）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

黄金卷02（新课标Ⅲ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，∴，解得或，故，则，故选A。2．已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可得：，∵实部与虚部之和为，∴，解得，故选B。3．函数的图像大致为(  )。A、   B、   C、   D、【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴是奇函数，故排除CD，又，故排除B，故选A。4．射线测厚技术原理公式为，其中、分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅()低能射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢板的密度为，则钢板对这种射线的吸收系数为(  )。(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到)A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意可知、、，代入得：，即，即，故选C。5．已知双曲线：(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为(  )。A、或B、或C、或D、或【答案】D【解析】两条渐近线的夹角为，∴或，又，，解得或，∴双曲线的标准方程为或，故选D。6．在中，，点满足，若，则的值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】取的中点为，连接，则，∴，设，则，解得，∴是等边三角形，∴，故选C。7．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想。世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对。其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”。在不超过的素数中，任选两个不同的素数、()，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、、、、、、、，共个，∴，，故，故选D。8．已知(其中)的展开项中的常数项为，则(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】原二项式的通项公式为，则常数项为，则，则，故选D。9．函数()的图像关于对称，且在上单调递增，则函数在区间上的最小值为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意得：()，解得()，且，故，∴，即，∵、∴，故在区间上的最小值为，故选B。10．已知单位向量、、，满足。若常数、、的取值集合为，则的最大值为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由条件得，和的取值只有三种可能，分别为、、，但二者不可能同时一个取，另一个取，∴的化简结果只有四种形式：、、、，而，故所有可能取值只有或两种结果，∴的最大值为，故选A。11．已知、、、四点在同一个球面上，且、、两两垂直，当、与面积之和的最大值为时，该球的表面积为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设、、，则、与面积之和为，故的最大值为，又，当且仅当时等号成立，即，即，∵、、、四点所在的同一个球即以、、为邻边的长方体的外接球，∴该球的直径，则该球的表面积，故选B。12．已知函数(是以为底的自然对数，)，若存在实数、()，满足，则的取值范围为(  ) 。A、B、C、D、【答案】C【解析】根据题意，作出函数的图像如图所示：∵存在实数、()，满足，∴根据函数图像可得，，∴，即，∴，构造函数，，则，令，解得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，∴当时取极小值也是最小值，∴，∵，，，∴，∴的取值范围为，故选C。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则       。【答案】【解析】∵∴，则，∴由正弦二倍角公式得。14．已知实数、满足约束条件，且目标函数的最大值为，则的取值范围是         。【答案】【解析】作图，目标函数改写为，作直线，目标直线斜率为负，且截距最大时也最大，则时目标函数过点，目标直线为，与交于点，则，、，设，表示点到点的斜率，其在为正数时范围为，在负值时范围为，又，，则的取值范围为。15．已知抛物线：，其准线与轴交于点，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，记直线、的斜率分别为、，则的最小值为        。【答案】【解析】∵、，设、，直线的方程为，联立得：，∴、，∵、，∴，∴当且仅当时，的最小值为。16．在等腰直角中，，，为内一点，，则        。【答案】【解析】如图建系，则、，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，，，故，故、，故，故。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）根据空气质量指数(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：级别ⅠⅡⅢ1Ⅲ2Ⅳ1Ⅳ2Ⅴ状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染 对某城市一年(天)的空气质量进行监测，获得的数据按照区间、、、、、进行分组，得到频率分布直方图如图。(1)求直方图中的值； (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；(3)求该城市某一周至少有天的空气质量为良或轻微污染的概率。(结果用分数表示，已知，，，)     【解析】(1)由图可知，解得；                                 3分(2)；                                           6分(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为：，   8分则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，                          10分一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为：。                                   12分18．（12分）已知数列的前项和为，，，且(，)。(1)设，求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和。【解析】(1)由已知得，即()，                    2分∴()，                                3分又∵，且，故数列是首项为、公比为的等比数列；   4分(2)由(1)知，则，∴，        5分设，   6分，   7分两式相减得：，  9分解得，                                                  10分∴数列的前项和。                             12分19．（12分）如图所示，四棱锥中，底面，，，，，。(1)求证：平面平面；(2)若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值。      【解析】(1)证明：∵，，∴，                                 1分∵底面，平面，                               2分∴，又，∴平面，                      3分∵平面，∴平面平面；                          4分(2)解：以为坐标原点，以、、所在射线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由点向作线，则∴，∴、、、，                 5分设，∵在棱上，∴()，又，，∴，                    6分设平面的向量，、，∴，∴，取，则、，∴，                             8分设平面的向量，、，∴，∴，取，则、，∴，                     10分∴，解得，∴，，又平面的法向量为，设直线与平面所成角的平面角为，∴。                                             12分20．（12分）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。【解析】(1)设，，以为切点的切线为，整理得：，                1分同理：以为切点的切线为：，                                   2分联立方程组：，解得，                            3分设直线的方程为：，联立方程组得：，                           5分∴，，∴，∴点的轨迹方程为；  6分(2)由(1)知：，             8分又到直线的距离为：，                          9分∴，                           11分∴时，取得最小值，此时直线的方程为。                     12分21．（12分）已知函数。(1)讨论的单调性；(2)求证：当时 ，对都有。【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，     1分当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，             2分当时，即时，有两个根为：、，，                                  3分∴当和时，，单调递增，  4分当时，，单调递减；                5分(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，∵对有，不妨设，∵在上单调递增，∴，则原式可以转化为，                          7分即有，即证，设，，                                        9分则，，当时，单调递增，，∵，∴，                                               10分当时，单调递增，∴，即，同理可证，即，则原不等式得证。                                                          12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数)，直线的方程为。以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)求曲线和直线的极坐标方程；(2)已知射线的极坐标方程是，且与曲线和直线在第一条限的交点分别为、，求的长。【解析】(1)曲线：，化为极坐标方程为：，                     2分直线的极坐标方程为，                                    4分(2)设点，则有，解得，即，       6分设点，则有，解得，即，              8分∴。                                          10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，。(1)当时，若的最小值为，求实数的值；(2)当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围。【解析】(1)当时，，                 2分∵的最小值为，∴，解得或；               4分(2)当时，即，                             5分当时，原式等同于，即，                          7分∵不等式的解集包含，∴且，即，        9分故实数的取值范围是。                                               10分