高中数学高考第8章 §8 6　直线与椭圆课件PPT

第八章§8.6　直线与椭圆考试要求1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识1.直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ 0；直线与椭圆相切⇔Δ 0；直线与椭圆相离⇔Δ 0.>＝b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为_________.所以b＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： .试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；题型一直线与椭圆的位置关系消去y并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.当Δ>0，即－3 0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.123456789101112131415162.已知椭圆M： (a＞b＞0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为12345678910111213141516√设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516又c＝3，a2＝b2＋c2.联立解得a2＝18，b2＝9.123456789101112131415163.(多选)已知椭圆 与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝ ，则实数m的值为A.－1 B.1 C.－2 D.2√12345678910111213141516√得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516由题意，解得m＝±1，满足题意.123456789101112131415164.已知直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆 截得的最大弦长是A.2 B. C.4 D.不能确定√12345678910111213141516直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，123456789101112131415165.(多选)设椭圆的方程为 ，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0C.若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为D.若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝√12345678910111213141516√对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝ ＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点 ，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确；12345678910111213141516对于D项，若直线方程为y＝x＋2，12345678910111213141516得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，所以D项正确.6.(多选)已知椭圆C： (a>b>0)的左、右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有A.△ABF2的周长为4a12345678910111213141516√√由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c，0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1.所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121314151612345678910111213141516①②所以B错误；12345678910111213141516则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，所以C正确；12345678910111213141516由过焦点的弦中通径最短，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，7.已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C： 交于不同的两点A，B，AB中点的横坐标为 ，则k＝____.12345678910111213141516设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因为直线l过椭圆内的定点(1,0)，8.与椭圆 有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为_____.12345678910111213141516因为所求椭圆与椭圆 ＋y2＝1有相同的焦点，12345678910111213141516因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍).123456789101112131415169.已知椭圆M： (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率为 ，且过点 .(1)求椭圆M的方程；12345678910111213141516则3a2＝4b2，12345678910111213141516(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程.12345678910111213141516设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∵线段PQ的中点恰为点N，∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2.12345678910111213141516即3x＋4y－7＝0.1234567891011121314151610.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点 ，且离心率为 .F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.(1)求椭圆E和⊙F的方程；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若直线l：y＝k(x－ )(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.1234567891011121314151612345678910111213141516由题设可知，A在E外，B在E内，C在⊙F内，D在⊙F外，在l上的四点A，B，C，D满足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将l的方程代入E的方程得(1＋4k2)x2－8 k2x＋12k2－4＝0，12345678910111213141516又⊙F的直径|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，故不存在正数k使|AC|＝|BD|.11.(2022·临沂模拟)过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭圆 中，过点M(4 ，0)的所有“好弦”的长度之和为A.120 B.130C.240 D.26012345678910111213141516√由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝4 ，故M为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，所以当x＝4 时，当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.1234567891011121314151612.(2022·江南十校模拟)已知椭圆C： ＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为12345678910111213141516√由椭圆的定义可得△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，1234567891011121314151613.(2022·兰州质检)已知P(2，－2)是离心率为 的椭圆 (a>b>0)外一点，经过点P的光线被y轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是12345678910111213141516√12345678910111213141516设过点P的直线斜率为k，则直线方程为y＋2＝k(x－2)，即y＝kx－2k－2，则反射后的切线方程为y＝－kx－2k－2，12345678910111213141516得(3＋4k2)x2＋16k(k＋1)x＋16k2＋32k＋16－3a2＝0，∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，∴Δ＝[16k(k＋1)]2－4(3＋4k2)(16k2＋32k＋16－3a2)＝0，化简得4a2k2＋3a2＝16k2＋32k＋16，14.(多选)已知O为坐标原点，椭圆T： 的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，B两点，则下列结论正确的是12345678910111213141516D.△AOB面积的最大值为3√√对于A，易知当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值，由椭圆T的方程知F(1,0)，12345678910111213141516所以|AB|的最小值为3，故A错误；对于B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，x1≠x2，x0≠0，因为M为线段AB的中点，又点A，B在椭圆T上，1234567891011121314151612345678910111213141516对于C，易知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为x＝my＋1，代入椭圆T的方程得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，所以y1＝－2y2，12345678910111213141516因为函数y＝3t＋ 在t∈[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1，即m＝0时，△AOB的面积取得最大值，且最大值为 ，故D错误.1234567891011121314151615.(多选)已知F1，F2是椭圆C1： (a>b>0)的左、右焦点，M，N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，若 ，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和直线BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是12345678910111213141516√√∴AF1⊥BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，∴AF1⊥EF2.设|F2A|＝2t，∴|AB|＝5t，∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t.∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B(0，±b).12345678910111213141516|F1F2|＝2c，∵|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2，12345678910111213141516设A(x，y)，易得M(－a，0)，N(a，0)，12345678910111213141516故C正确；故D错误.16.已知直线l经过椭圆C： (a＞b＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；12345678910111213141516∴b2＝3，12345678910111213141516(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上.若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，∴直线l的斜率存在.设l：y＝k(x－1)(k≠0)，m：y＝－k(x＋t)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN，yN).将直线m的方程代入椭圆方程得，(3＋4k2)x2＋8k2tx＋4(k2t2－3)＝0，12345678910111213141516由|MN|2＝4|AB|得t＝0，12345678910111213141516此时，Δ＝64k4t2－16(3＋4k2)(k2t2－3)＞0，∴直线m：y＝－kx，12345678910111213141516