高中数学高考第七章 7 4基本不等式及应用-教师版(1)

这是一份高中数学高考第七章 7 4基本不等式及应用-教师版(1)，共20页。试卷主要包含了判断下列结论是否正确等内容，欢迎下载使用。
进门测
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.( × )
(2)函数f(x)＝cs x＋eq \f(4,cs x)，x∈(0，eq \f(π,2))的最小值等于4.( × )
(3)“x>0且y>0”是“eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2”的充要条件．( × )
(4)若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).( × )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)有相同的成立条件．( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )
2、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，∴eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)，
即xy≤(eq \f(x＋y,2))2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
3、已知x>0，a>0，当y＝x＋eq \f(a,x)取最小值时，x的值为( )
A．1 B．a C.eq \r(a) D．2eq \r(a)
答案 C
解析 y＝x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(a)，
当且仅当x＝eq \f(a,x)即x＝eq \r(a)时，
y＝x＋eq \f(a,x)有最小值2eq \r(a).
4、若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.eq \f(1,ab)≤eq \f(1,4) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤1
C.eq \r(ab)≥2 D．a2＋b2≥8
答案 D
解析 4＝a＋b≥2eq \r(ab)(当且仅当a＝b时，等号成立)，即eq \r(ab)≤2，ab≤4，eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)，选项A，C不成立；eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．
5、若正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y＝1，则xy的最大值为________．
答案 eq \f(2－\r(3),4)
解析 由题意得
1＝x2＋4y2＋x＋2y≥4xy＋2eq \r(2)·eq \r(xy)，
则eq \r(xy)≤eq \f(\r(6)－\r(2),4)，则xy≤(eq \f(\r(6)－\r(2),4))2＝eq \f(2－\r(3),4).
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 通过配凑法利用基本不等式
例1 (1)已知00，a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________．
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)
≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为4，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立．
引申探究
1．若条件不变，求(1＋eq \f(1,a))(1＋eq \f(1,b))的最小值．
解 (1＋eq \f(1,a))(1＋eq \f(1,b))＝(1＋eq \f(a＋b,a))(1＋eq \f(a＋b,b))＝(2＋eq \f(b,a))·(2＋eq \f(a,b))
＝5＋2(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，取等号．
2．已知a>0，b>0，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝4，求a＋b的最小值．
解 由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝4，得eq \f(1,4a)＋eq \f(1,4b)＝1.
∴a＋b＝(eq \f(1,4a)＋eq \f(1,4b))(a＋b)＝eq \f(1,2)＋eq \f(b,4a)＋eq \f(a,4b)≥eq \f(1,2)＋2 eq \r(\f(b,4a)·\f(a,4b))＝1.
当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号．
3．若将条件改为a＋2b＝3，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值．
解 ∵a＋2b＝3，
∴eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))(eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b)＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＋eq \f(a,3b)＋eq \f(2b,3a)
≥1＋2 eq \r(\f(a,3b)·\f(2b,3a))＝1＋eq \f(2\r(2),3).
当且仅当a＝eq \r(2)b时，取等号．
【同步练习】
(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(eq \f(1,2))y，若eq \f(1,x)＋eq \f(m,y)(m>0)的最小值为3，则m＝________.
答案 (1)5 (2)4
解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy，可得eq \f(1,5y)＋eq \f(3,5x)＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)(eq \f(1,5y)＋eq \f(3,5x))
＝eq \f(9,5)＋eq \f(4,5)＋eq \f(3x,5y)＋eq \f(12y,5x)≥eq \f(13,5)＋eq \f(12,5)＝5.
当且仅当eq \f(3x,5y)＝eq \f(12y,5x)，即x＝1，y＝eq \f(1,2)时，等号成立，
∴3x＋4y的最小值是5.
方法二 由x＋3y＝5xy，得x＝eq \f(3y,5y－1)，
∵x>0，y>0，∴y>eq \f(1,5)，
∴3x＋4y＝eq \f(9y,5y－1)＋4y＝eq \f(13y－\f(1,5)＋\f(9,5)＋\f(4,5)－4y,5y－1)＋4y
＝eq \f(13,5)＋eq \f(9,5)·eq \f(\f(1,5),y－\f(1,5))＋4(y－eq \f(1,5))
≥eq \f(13,5)＋2eq \r(\f(36,25))＝5，
当且仅当y＝eq \f(1,2)时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
(2)由2x－3＝(eq \f(1,2))y得x＋y＝3，
eq \f(1,x)＋eq \f(m,y)＝eq \f(1,3)(x＋y)(eq \f(1,x)＋eq \f(m,y))
＝eq \f(1,3)(1＋m＋eq \f(y,x)＋eq \f(mx,y))
≥eq \f(1,3)(1＋m＋2eq \r(m))
(当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(mx,y)，即y＝eq \r(m)x时取等号)，
∴eq \f(1,3)(1＋m＋2eq \r(m))＝3，
解得m＝4.
题型二 基本不等式的实际应用
例3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
答案 8
解析 年平均利润为eq \f(y,x)＝－x－eq \f(25,x)＋18
＝－(x＋eq \f(25,x))＋18，
∵x＋eq \f(25,x)≥2 eq \r(x·\f(25,x))＝10，
∴eq \f(y,x)＝18－(x＋eq \f(25,x))≤18－10＝8，
当且仅当x＝eq \f(25,x)即x＝5时，取等号．
【同步练习】
1、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
答案 80
解析 设每件产品的平均费用为y元，由题意得
y＝eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2 eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.
当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)(x>0)，即x＝80时“＝”成立．
第3课时
阶段重难点梳理
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A的解集为D；
不等式f(x)0，若不等式eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
(2)已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
答案 (1)B (2)[－eq \f(8,3)，＋∞)
解析 (1)由eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋3b)，
得m≤(a＋3b)(eq \f(3,a)＋eq \f(1,b))＝eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋6.
又eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋6≥2eq \r(9)＋6＝12(当且仅当eq \f(9b,a)＝eq \f(a,b)时等号成立)，
∴m≤12，∴m的最大值为12.
(2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即知a≥－(x＋eq \f(8,x))＋3.
设g(x)＝x＋eq \f(8,x)，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝eq \f(17,3).
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq \f(17,3)，∴－(x＋eq \f(8,x))＋3≤－eq \f(8,3)，
∴a≥－eq \f(8,3)，故a的取值范围是[－eq \f(8,3)，＋∞)．
【同步练习】
(1)已知函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2) C．1 D．2
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得eq \r(aman)＝4a1，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(9,4) D.eq \f(25,6)
答案 (1)C (2)A
解析 (1)由题意可得a>0，
①当x>0时，f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋2≥2eq \r(a)＋2，当且仅当x＝eq \r(a)时取等号；
②当x0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1，则x＋y的最小值是________．
(2)函数y＝1－2x－eq \f(3,x)(x0，y>0，∴1＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(2,xy))，
∴eq \r(xy)≥2eq \r(2)，∴x＋y≥2eq \r(xy)＝4eq \r(2)，
∴x＋y的最小值为4eq \r(2).
(2)∵2x＋eq \f(3,x)≥2eq \r(6)，∴y＝1－2x－eq \f(3,x)≤1－2eq \r(6).
∴函数y＝1－2x－eq \f(3,x)(x0，y>0，
∴x＋y＝(x＋y)(eq \f(1,x)＋eq \f(2,y))
＝3＋eq \f(y,x)＋eq \f(2x,y)≥3＋2eq \r(2)(当且仅当y＝eq \r(2)x时取等号)，
∴当x＝eq \r(2)＋1，y＝2＋eq \r(2)时，(x＋y)min＝3＋2eq \r(2).
(2)∵x0，
所以“a2＋b2≥2ab”是“eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2”的必要不充分条件，故选B.
3．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)的最小值是( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．2eq \r(3)
答案 C
解析 因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)＝(eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y))(x＋3y)＝2＋eq \f(3y,x)＋eq \f(x,3y)≥4，
当且仅当eq \f(3y,x)＝eq \f(x,3y)，即x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,6)时，取等号．
4．若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3)
C．3 D．4
答案 C
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2 eq \r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
5．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．2eq \r(2) C.eq \r(2) D．2
答案 D
解析 ∵x>0，y>0，x＋2y≥2eq \r(2xy)，
∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2eq \r(2xy)，
∴4≤4xy－2eq \r(2xy)，
即(eq \r(2xy)－2)(eq \r(2xy)＋1)≥0，
∴eq \r(2xy)≥2，∴xy≥2.
*6.设a>b>c>0，则2a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)－10ac＋25c2的最小值是( )
A．2 B．4 C．2eq \r(5) D．5
答案 B
解析 2a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)－10ac＋25c2
＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)
＝(a－5c)2＋ab＋eq \f(1,ab)＋a(a－b)＋eq \f(1,aa－b)
≥0＋2＋2＝4，
当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1时，等号成立，
即取a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)，c＝eq \f(\r(2),5)时满足条件．
*7.若正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(9,b－1)的最小值是( )
A．1 B．6 C．9 D．16
答案 B
解析 ∵正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴b＝eq \f(a,a－1)>0，解得a>1.同理可得b>1，所以eq \f(1,a－1)＋eq \f(9,b－1)＝eq \f(1,a－1)＋eq \f(9,\f(a,a－1)－1)＝eq \f(1,a－1)＋9(a－1)≥2eq \r(\f(1,a－1)·9a－1)＝6，当且仅当eq \f(1,a－1)＝9(a－1)，即a＝eq \f(4,3)时等号成立，所以最小值为6.故选B.
8．对任意的θ∈(0，eq \f(π,2))，不等式eq \f(1,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)≥|2x－1|成立，则实数x的取值范围是( )
A．[－3,4] B．[0,2]
C．[－eq \f(3,2)，eq \f(5,2)] D．[－4,5]
答案 D
解析 因为eq \f(1,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)
＝eq \f(sin2θ＋cs2θ,sin2θ)＋eq \f(4sin2θ＋cs2θ,cs2θ)
＝eq \f(cs2θ,sin2θ)＋eq \f(4sin2θ,cs2θ)＋5≥2× eq \r(\f(cs2θ,sin2θ)·\f(4sin2θ,cs2θ))＋5＝9，
当且仅当eq \f(cs2θ,sin2θ)＝eq \f(4sin2θ,cs2θ)，即tan θ＝eq \f(\r(2),2)时等号成立，所以|2x－1|≤9，解得－4≤x≤5，故选D.
9．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．
答案 [4,12]
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤eq \f(x2＋4y2,2)，
∴6－(x2＋4y2)≤eq \f(x2＋4y2,2)，
∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，
即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12
(当且仅当x＝－2y时取等号)．
综上可知4≤x2＋4y2≤12.
10．已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则eq \f(a2,b＋1)的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 ∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，
∴d＝eq \f(|b＋1＋a|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，
∴eq \f(a2,b＋1)＝eq \f(1－b2,b＋1)＝eq \f(b＋12－4b＋1＋4,b＋1)
＝(b＋1)＋eq \f(4,b＋1)－4≥2eq \r(4)－4＝0.
又∵a，b为正实数，∴等号取不到．
∴eq \f(a2,b＋1)的取值范围是(0，＋∞)．
*11.函数y＝lga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________．
答案 8
解析 y＝lga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)，
由A在直线mx＋ny＋1＝0上．
得－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1.
∴eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \f(2m＋n,m)＋eq \f(22m＋n,n)＝eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n)＋4≥2eq \r(4)＋4＝8(当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)，即m＝eq \f(1,4)，n＝eq \f(1,2)时等号成立)．
12．若正数x，y，z满足3x＋4y＋5z＝6，则eq \f(1,2y＋z)＋eq \f(4y＋2z,x＋z)的最小值为________．
答案 eq \f(7,3)
解析 eq \f(1,2y＋z)＋eq \f(4y＋2z,x＋z)＝eq \f(1,2y＋z)＋eq \f(6－3x＋z,x＋z)
＝eq \f(1,2y＋z)＋eq \f(6,x＋z)－3，
令2y＋z＝a，x＋z＝b，
则2(2y＋z)＋3(x＋z)＝3x＋4y＋5z＝2a＋3b＝6，
即eq \f(a,3)＋eq \f(b,2)＝1，
原式＝(eq \f(1,a)＋eq \f(6,b))(eq \f(a,3)＋eq \f(b,2))－3
＝eq \f(1,3)＋eq \f(b,2a)＋eq \f(2a,b)≥eq \f(7,3).
13．某项研究表明：在考虑行车安全情况下，某路段车流量F(单位时间经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车辆速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时．
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
答案 (1)1 900 (2)100
解析 (1)当l＝6.05时，F＝eq \f(76 000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq \f(76 000,2 \r(v·\f(121,v))＋18)＝1 900，
当且仅当v＝11时取最大值．
(2)当l＝5时，F＝eq \f(76 000,v＋\f(100,v)＋18)≤2 000，
当且仅当v＝10时取等号，
∴最大车流量比(1)中增加2 000－1 900＝100(辆/小时)．