高中数学高考第20讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（教师版）

这是一份高中数学高考第20讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（教师版），共10页。试卷主要包含了角的概念的推广，弧度制的定义和公式等内容，欢迎下载使用。

思维导图
知识梳理
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
题型归纳
题型1 象限角及终边相同的角
【例1-1】（2020春•延庆区期末）与角终边相同的角为
A．B．C．D．
【分析】写出与角终边相同的角的集合，取值得答案．
【解答】解：与角终边相同的角的集合为，，
取，可得．
与角终边相同的角是．
故选：．
【例1-2】（2020春•浦东新区校级期中）已知是第二象限角，则是
A．锐角B．第一象限角
C．第一、三象限角D．第二、四象限角
【分析】由是第二象限角对应的范围，即可求解结论．
【解答】解：是第二象限角，
所以，，
，，
是第一象限或第三象限角，
故选：．
【跟踪训练1-1】（2019秋•东湖区校级期末）是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【分析】由，知是第三象限角．
【解答】解：，
是第三象限角．
故选：．
【跟踪训练1-2】（2019秋•西昌市期末）终边在三象限，则的终边可能在
A．一三象限B．二四象限
C．一二象限或轴非负半轴D．三四象限或轴非正半轴
【分析】由题意得，，从而．进而的终边可能在一二象限或轴非负半轴．
【解答】解：终边在三象限，
，，
．
的终边可能在一二象限或轴非负半轴．
故选：．
【跟踪训练1-3】（2020春•杨浦区校级期末）下列角的终边与的终边在同一象限的是
A．B．C．D．
【分析】根据象限的范围即可判断．
【解答】解：，
与终边相同的是．
则在第三象限，
的终边在第三象限，
在第二象限，在第一象限，在第四象限，在第三象限，
故选：．
【跟踪训练1-4】（2019秋•赤峰期末）设终边在轴的负半轴上的角的集合为，则
A．B．
C．D．
【分析】找出内终边在轴的负半轴上的角，再写出终边在轴负半轴上的角的集合．
【解答】解：在内，终边在轴的负半轴上的角为，
所以终边在轴的负半轴上的角可以表示为，．
故选：．
【名师指导】
(1)终边在某直线上角的求法4步骤
①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
②按逆时针方向写出[0，2π]内的角；
③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
④求并集化简集合．
(2)判断象限角的2种方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
(3)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤
①用终边相同角的形式表示出角α的范围；
②再写出kα或eq \f(α,k)的范围；
③然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置．
题型2 扇形的弧长及面积公式的应用
【例2-1】（2019春•玉山县校级月考）已知在半径为6的圆中，弦的长为6，
（1）求弦所对圆心角的大小；
（2）求所在的扇形的弧长以及扇形的面积．
【分析】（1）根据题意，分析可得为等边三角形，即可得的值；
（2）根据题意，由弧长公示以及扇形面积公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，半径为6的圆中，弦的长为6，
则为等边三角形，则，
即，
（2）根据题意，由（1）的结论，，
．
【跟踪训练2-1】（2020春•太原期末）已知扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的弧长为 ．
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：由题意得，扇形的半径为，圆心角为，
故此扇形的弧长为：．
故答案为：．
【跟踪训练2-2】（2020春•徐汇区期末）已如扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 ．
【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：扇形的圆心角为，弧长为，
根据弧长公式可得，则，
根据扇形面积公式，，
故答案为：．
【名师指导】
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
题型3 三角函数的定义及应用
【例3-1】（2020春•丽水期末）已知角的终边经过点，且，则
A．B．C．D．
【分析】根据三角函数的定义，先计算，再利用正弦函数的定义求出，进而求解结论．
【解答】解：因为角的终边经过点，所以
因为，所以：；
所以．（正值舍）
故；
故选：．
【例3-2】（2020春•兴宁区校级期末）角的顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上，且终边过点，则
A．B．C．D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．
【解答】解：角的顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上，且终边过点，
则，
故选：．
【例3-3】（2020春•金华期末）若，，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【分析】由三角函数值的符号判定是第几象限角，通常记住口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，应用方便．
【解答】解：，
可能是第二、或第三象限角，或负半轴角；
又，
可能是第一、或第三象限角；
综上，是第三象限角；
故选：．
【跟踪训练3-1】（2020春•河池期末）若角的终边上有一点，则
A．2B．4C．D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，特殊角的三角函数值，求出的值．
【解答】解：角的终边上有一点，，
则，
故选：．
【跟踪训练3-2】（2019春•五莲县期中）若点位于第四象限，则角在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由题意可得，，，从而可求．
【解答】解：由题意可得，，，
故在二象限，
故选：．
【名师指导】
1.三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
2.三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cs θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正．
学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sineq \f(π,2)＝1>0，cs π＝－1<0.角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180)rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2