高中数学高考第3节 第2课时 简单的三角恒等变换 教案

这是一份高中数学高考第3节 第2课时 简单的三角恒等变换 教案，共9页。
考点1 三角函数式的化简

1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
(1)化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝ .
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(10),10)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝ .
(3)已知α为第二象限角，且tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)－2，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝ .
(1)eq \f(1,2)cs 2x (2)eq \f(4－3\r(3),10) (3)－eq \f(3\r(10),10) [(1)原式＝eq \f(\f(1,2)4cs4x－4cs2x＋1,2×\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))·cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(2cs2x－12,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(cs22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(cs22x,2cs 2x)＝eq \f(1,2)cs 2x.
(2)由题意可得，cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1,10)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,2)))＝－sin 2θ＝－eq \f(4,5)，即sin 2θ＝eq \f(4,5).
因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(10),10)＞0，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以0＜θ＜eq \f(π,4)，2θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
根据同角三角函数基本关系式，可得cs 2θ＝eq \f(3,5)，
由两角差的正弦公式，可得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝sin 2θcs eq \f(π,3)－cs 2θsin eq \f(π,3)
＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4－3\r(3),10).
(3)由已知可得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2，
∵α为第二象限角，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(2\r(5),5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(\r(5),5)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))－eq \f(π,4)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sin eq \f(π,4)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cs eq \f(π,4)＝－eq \f(3\r(10),10).]
(1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．
(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用．
考点2 三角函数的求值
给角求值
[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]·eq \r(2sin280°)＝ .
eq \r(6) [原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin 50°＋sin 10°·\f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)))·eq \r(2)sin 80°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin 50°＋2sin 10°·\f(\f(1,2)cs 10°＋\f(\r(3),2)sin 10°,cs 10°)))·eq \r(2)cs 10°＝2eq \r(2)[sin 50°·cs 10°＋sin 10°·cs(60°－10°)]
＝2eq \r(2)sin(50°＋10°)＝2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6).]
该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
给值求值
(1)(2019·益阳模拟)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝ .
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(3,5)，eq \f(17π,12)＜α＜eq \f(7π,4)，则eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)的值为 ．
(1)－eq \f(4,5) (2)－eq \f(28,75) [(1)由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
可得eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2) sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
即eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，
所以eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),5)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5).
(2)eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)＝eq \f(2sin αcs α＋2sin2α,1－\f(sin α,cs α))
＝eq \f(2sin αcs αcs α＋sin α,cs α－sin α)
＝sin 2αeq \f(1＋tan α,1－tan α)＝sin 2α·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)).
由eq \f(17π,12)＜α＜eq \f(7π,4)得eq \f(5π,3)＜α＋eq \f(π,4)＜2π，
又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－eq \f(4,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－eq \f(4,3).
cs α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),10)，sin α＝－eq \f(7\r(2),10)，
sin 2α＝eq \f(7,25).
所以eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)＝eq \f(7,25)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－eq \f(28,75).]
(1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．
(2)注意eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))互余，sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝cs 2x，cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝sin 2x的灵活应用．
给值求角
(1)设α，β为钝角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝－eq \f(3\r(10),10)，则α＋β的值为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4)
C.eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，则2α－β的值为 ．
(1)C (2)－eq \f(3,4)π [(1)∵α，β为钝角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝－eq \f(3\r(10),10)，
∴cs α＝－eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，
∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(\r(2),2)＞0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
∴α＋β＝eq \f(7π,4).
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq \f(1,3)＞0，
∴0＜α＜eq \f(π,2).
又∵tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up20(2))＝eq \f(3,4)＞0，
∴0＜2α＜eq \f(π,2)，
∴tan(2α－β)＝eq \f(tan 2α－tan β,1＋tan 2αtan β)＝eq \f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.
∵tan β＝－eq \f(1,7)＜0，∴eq \f(π,2)＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－eq \f(3π,4).]
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
①已知正切函数值，则选正切函数．
②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则选正弦较好．
提醒：求解此类问题时，一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围．
1.(2019·安徽六安二模)若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A.eq \f(7π,4) B.eq \f(9π,4)
C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
A [因为α∈，且0＜sin 2α＝eq \f(\r(5),5)＜eq \f(1,2)，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，
所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(π,2)))，cs 2α＝－eq \r(1－sin22α)＝－eq \f(2\r(5),5).
因为β∈，所以β－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(13π,12)))，
又sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)＞0，所以β－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs(β－α)＝－eq \r(1－sin2β－α)＝－eq \f(3\r(10),10).
所以cs(α＋β)＝cs[2α＋(β－α)]
＝cs 2αcs(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(π,2)))，β∈，所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,12)，2π))，所以α＋β＝eq \f(7π,4).故选A.]
2．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且2sin2α－sin α·cs α－3cs2α＝0，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),sin 2α＋cs 2α＋1)＝ .
eq \f(\r(26),8) [∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且2sin2α－sin α·cs α－3cs2α＝0，
则(2sin α－3cs α)·(sin α＋cs α)＝0，
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋cs α＞0，
∴2sin α＝3cs α，又sin2α＋cs2α＝1，
∴cs α＝eq \f(2,\r(13))，sin α＝eq \f(3,\r(13))，
∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),sin 2α＋cs 2α＋1)
＝eq \f(\f(\r(2),2)sin α＋cs α,sin α＋cs α2＋cs2α－sin2α)＝eq \f(\r(2),4cs α)＝eq \f(\r(26),8).]
3.eq \f(cs 10°1＋\r(3)tan 10°,cs 50°)的值是 ．
2 [原式＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 50°)＝eq \f(2sin10°＋30°,cs 50°)＝eq \f(2sin 40°,sin 40°)＝2.]
考点3 三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asin x＋bcs x化为y＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝eq \s\up20(2)的值域．
[解] (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcs θ＋cs xsin θ＝－sin xcs θ＋cs xsin θ，
故2sin xcs θ＝0，所以cs θ＝0.
又θ∈[0,2π)，因此θ＝eq \f(π,2)或θ＝eq \f(3π,2).
(2)y＝
＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))),2)
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x－\f(3,2)sin 2x))
＝1－eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
因此，所求函数的值域是.
(1)求三角函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)时要注意φ的取值范围．
(2)根据二倍角公式进行计算时，如果涉及开方，则要注意开方后三角函数值的符号．
已知函数f(x)＝sin2x－cs2x－2eq \r(3)sin xcs x(x∈R)．
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解] (1)由sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，得
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up20(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up20(2)－2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝2.
(2)由cs 2x＝cs2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcs x，
得f(x)＝－cs 2x－eq \r(3)sin 2x＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，得
eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为