高中数学高考第4节 变量间的相关关系与统计案例 教案

这是一份高中数学高考第4节 变量间的相关关系与统计案例 教案，共20页。

1．两个变量的线性相关
(1)正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程：方程eq \(y,\s\up8(^))＝eq \(b,\s\up8(^))x＋eq \(a,\s\up8(^))是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中eq \(a,\s\up8(^))，eq \(b,\s\up8(^))是待定参数．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b,\s\up8(^))＝\f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\x\t(x)2)＝\f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))xiyi－n\(x,\s\up8(－))\(y,\s\up8(－)),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2),\(a,\s\up8(^))＝\x\t(y)－\(b,\s\up8(^))\x\t(x).))
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq \(x,\s\up8(－))，eq \(y,\s\up8(－)))称为样本点的中心．
(3)相关系数
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
4．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
构造一个随机变量K2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
eq \([常用结论])
1．回归直线必过样本点的中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))．
2．当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( )
(2)通过回归直线方程eq \(y,\s\up8(^))＝eq \(b,\s\up8(^))x＋eq \(a,\s\up8(^))可以估计预报变量的取值和变化趋势．( )
(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．( )
(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的是( )
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
A [R2越接近于1，其拟合效果越好．]
2．下面是2×2列联表：
则表中a，b的值分别为( )
A．94,72 B．52,50
C．52,74 D．74,52
C [∵a＋21＝73，∴a＝52.
又a＋22＝b，∴b＝74.]
3．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2的观测值k＝eq \f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．
5% [K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.]
4．某同学家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量y(杯)与当天最高气温x(℃)的有关数据，通过描绘散点图，发现y和x呈线性相关关系，并求得其回归方程eq \(y,\s\up8(^))＝2x＋60.如果气象预报某天的最高气温为34 ℃，则可以预测该天这种饮料的销售量为__________杯．
128 [由题意x＝34时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数eq \(y,\s\up8(^))＝2×34＋60＝128杯．]
考点1 相关关系的判断
判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．
(3)线性回归直线方程中：eq \(b,\s\up8(^))>0时，正相关；eq \(b,\s\up8(^))3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
总计
b
46
120
理科
文科
男
13
10
女
7
20
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
广告费用x(万元)
2
3
4
5
销售额y(万元)
26
m
49
54
eq \x\t(x)
eq \x\t(y)
eq \x\t(w)
eq \(eq \(∑,\s\up8(8)),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))2
eq \(eq \(∑,\s\up8(8)),\s\d6(i＝1)) (wi－eq \x\t(w))2
eq \(eq \(∑,\s\up8(8)),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))
eq \(eq \(∑,\s\up8(8)),\s\d6(i＝1)) (wi－eq \x\t(w))·(yi－eq \x\t(y))
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
eq \x\t(y)
eq \x\t(k)
eq \(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) (ki－eq \x\t(k))2
eq \(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \x\t(y))
eq \(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))
eq \(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))·(ki－eq \x\t(k))
2.3
1.2
3.1
4.6
2
1
2－0.7
2－0.3
20.1
21.7
21.8
21.9
0.6
0.8
1.1
3.2
3.5
3.73
年份
2013
2014
2015
2016
2017
年份代码x
1
2
3
4
5
新能源汽车的年销量y/万辆
1.5
5.9
17.7
32.9
55.6
eq \x\t(y)
eq \(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))2
eq \(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) (wi－eq \x\t(w))2
eq \(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))·(yi－eq \x\t(y))
eq \(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) (wi－eq \x\t(w))·(yi－eq \x\t(y))
22.72
10
374
135.2
851.2
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828