中考数学二轮压轴培优专题31三角形与新定义综合问题（教师版）

这是一份中考数学二轮压轴培优专题31三角形与新定义综合问题（教师版），共58页。

专题31三角形与新定义综合问题

【例1】(2022•淮安区模拟)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
(1)can30°＝　　，若canB＝1，则∠B＝　60　°．
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．

【分析】(1)根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答，
根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠B＝60°；
(2)根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出关于x的方程即可解答．
【解答】解：(1)如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∵∠B＝30°，
∴BD＝ABcos30°＝AB，
∴BC＝2BD＝AB，
∴can30°＝＝＝，
若canB＝1，
∴canB＝＝1，
∴BC＝AB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
故答案为：，60；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵canB＝，
∴＝，
∴设BC＝8x，AB＝5x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝4x，
∴AD＝＝3x，
∵S△ABC＝48，
∴BC•AD＝48，
∴•8x•3x＝48，
∴x2＝4，
∴x＝±2(负值舍去)，
∴x＝2，
∴AB＝AC＝10，BC＝16，
∴△ABC的周长为36，
答：△ABC的周长为36．
【例2】(2022•柯城区校级三模)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．
【概念感知】
判断：对的打“√”，错的打“×”．
(1)等腰直角三角形是标准三角形． 　√　
(2)顶角为30°的等腰三角形是标准三角形． 　×　
【概念理解】
若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 　1：1：或：：2　．
【概念应用】
(1)如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．
(2)若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

【分析】【概念感知】(1)根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；
(2)作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；
【概念理解】当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，设BE＝x，则AE＝2x，求出AB＝x，则AB：AC：BC＝：：2；
【概念应用】(1)过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，求出A'B即可；
(2)分两种情况讨论：①当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC＝a，由等积法求出BE＝a，用勾股定理分别求出AD＝2a，BD＝a，BC＝a，则可求sin∠BCE＝；②当BC＝AB时，BC＝DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，由勾股定理分别求出BD＝2a，AD＝3a，AC＝a，再由等积法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．
【解答】解：【概念感知】
(1)如图1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，
∵AB＝AC，
∴等腰直角三角形是标准三角形，
故答案为：√；
(2)如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，
∵∠A＝30°，
∴CD＝AC，
∵CA＝AB，
∴CD＝AB，
∴△ABC不是标准三角形；
如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，
此时AE＞BC，
∴△ABC不是标准三角形；
故答案为：×；
【概念理解】
如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；
如图4，当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，
∴BE＝EC＝BC＝AE，
设BE＝x，则AE＝2x，
在Rt△ABE中，AB＝x，
∴AB：AC：BC＝：：2；
故答案为：1：1：或：：2；
【概念应用】
(1)如图5，过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，
当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，
∵AB＝CD＝1，
∴AA'＝2，
在Rt△ABA'中，A'B＝，
∴AC+BC的最小值为；
(2)在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，
∴AC＞CD，BC＞CD，
∴AC＞AB，BC＞AB，
∴△ABC的最小角为∠ACB，
①如图6，当AC＝AB时，AC＝CD，
过点B作BE⊥AC交于E，
设CD＝AB＝a，则AC＝a，
∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，
∴BE＝a，
在Rt△ACD中，AD＝2a，
∴BD＝AD﹣AB＝a，
在Rt△BCD中，BC＝a，
在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；
②如图7，当BC＝AB时，BC＝DC，
过点B作BE⊥AC交于E，
设CD＝AB＝a，则BC＝a，
在Rt△BCD中，BD＝2a，
∴AD＝3a，
在Rt△ACD中，AC＝a，
∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，
∴BE＝a，
在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；
综上所述：最小角的正弦值为或.







【例3】(2020•五华区校级三模)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例探究】
(1)如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝　4　，b＝　4　；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a2+b2＝　20　；
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
(3)如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质分别求出PA、PB，根据三角形中位线定理得到MN∥AB，根据相似三角形的性质分别求出PM、PN，根据勾股定理计算即可；
(2)连接MN，设PN＝x，PM＝y，利用勾股定理分别用x、y表示出a、b、c，得到答案；
(3)取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，证明△ABF为“中垂三角形”，根据(2)中结论计算即可．
【解答】解：(1)在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，
则PA＝PB＝c＝4，
∵M、N分别为CB、CA的中点，
∴MN＝AB＝2，MN∥AB，
∴△APB∽△MPN，
∴＝＝＝，
∴PM＝PN＝2，
∴BM＝＝2，
∴a＝2BM＝4，
同理：b＝2AN＝4，
如图2，连接MN，
在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，
∴PB＝c＝1，
∴PA＝＝，
∴PN＝，PM＝，
∴BM＝＝，AN＝＝，
∴a＝，b＝，
∴a2+b2＝20，
故答案为：4；4；20；
(2)a2+b2＝5c2，
理由如下：如图3，连接MN，
设PN＝x，PM＝y，
则PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，
∴BM＝＝，AN＝＝，
∴a＝2，b＝2，
∴a2+b2＝20(x2+y2)，
∵c2＝PA2+PB2＝4(x2+y2)，
∴a2+b2＝5c2；
(3)取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AHP∽△BHF，
∴＝＝1，
∴AP＝BF，
∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，
∴AE＝BF＝，
∴PE＝FC，
∴四边形PFCE为平行四边形，
∵BE⊥CE，
∴BG⊥FH，
∵AE∥BF，AE＝BF，
∴AG＝GF，
∴△ABF为“中垂三角形”，
∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×()2，
解得：AF＝4．



【例4】(2020•岳麓区校级二模)定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．
(1)如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；
(2)如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．
①求证：△ABC是中垂三角形；
②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．

【分析】(1)先利用“SAS“证明△BAD≌△ABE，然后根据△ABC是中垂三角形即可证明；
(2)先判断出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出结论；
(3)①利用二次函数先求出点B、点A和点C的坐标，然后根据点A和点C的坐标确定E是AC的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；
②先由点A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)的坐标得到kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可．
【解答】(1)证明：AC＝BC，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，
∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，
∴△BAD≌△ABE(SAS)，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴OA＝OB．
∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形．
(2)L＝6AB2．
证明：如图，连接DE．

∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，
∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，
∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．
在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
∴AC2+BC2＝4(AD2+BE2)
＝4(OA2+OD2+OB2+OE2)
＝4(AB2+DE2)
＝4(AB2+AB2)
＝5AB2，
∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．
(3)①证明：在y＝中，当x＝0时，y＝﹣2a，
∴点B(0，﹣2a)．
y＝0时，＝0，
整理得3x2﹣4x﹣32＝0，
解得x1＝﹣(舍)，x2＝4，
∴点A(4，0)．
∵BD＝CD，
yC＝﹣yB＝2a，
将y＝2a代人y＝，
解得x1＝(舍)，x2＝﹣4，
∴C(﹣4，2a)．
由点A(4，0)，C(﹣4，2a)可知，E是AC的中点．
又∵BD＝CD，
∴AD，BE都是△ABC的中线．
又∵∠AOB＝90°，
∴AD⊥BE，
∴△ABC是中垂三角形．
②解法一：由点A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)可得kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，
∵∠C＜∠AOB，
∴∠C≠90°．
当∠ABC＝90°时，kAB•kBC＝﹣1，
解得a＝(负值舍去)，
∴点B(0，﹣2)，
∴L＝6AB2＝6×24＝144．
当∠BAC＝90°时，kAB•kCA＝﹣1，
解得a＝2(负值舍去)，
∴点B(0，﹣4)，
∴L＝6AB2＝6×48＝288．
综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．
解法二：由点A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)，
∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴点D(﹣2，0)，E(0，a)．
∵∠C＜∠AOB，
∴∠C≠90°．
当∠ABC＝90°时，在△ABD 中，由射影定理得OB2＝OA•OD，
∴4a2＝8，解得α＝(负值舍去)，
∴点B(0，﹣2)，
∴L＝6AB2＝6×24＝144．
当∠BAC＝90°时，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB•OE，
∴16＝2a2，解得a＝2(负值舍去)，
∴点B(0，﹣4)，
∴L＝6AB2＝6×48＝288．
综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．
【例5】(2020•安徽模拟)通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图(1)在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
(1)can30°＝　　；
(2)如图(2)，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．

【分析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B＝30°，可得出BD＝AB，结合等腰三角形的性质可得出BC＝AB，继而得出canB；
(2)过点A作AE⊥BC于点E，根据canB＝，设BC＝8x，AB＝5x，再由S△ABC＝24，可得出x的值，继而求出周长．
【解答】解：
(1)过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，
∴cos∠B＝＝，
∴BD＝AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝2BD＝AB，
故can30°＝＝；

(2)过点A作AE⊥BC于点E，
∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，
∴AE＝＝3x，
∵S△ABC＝24，
∴BC×AE＝12x2＝24，
解得：x＝，
故AB＝AC＝5，BC＝8，
从而可得△ABC的周长为18．

一．解答题(共20题)
1．(2022秋•如皋市期中)定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有 　②③　(只填写序号)．
①顶角是30°的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是30°的直角三角形．
(2)如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．
①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；
②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．


【分析】(1)利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；
(2)①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠E，可得结论；
②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．
【解答】(1)解：若顶角是30°的等腰三角形，
∴两个底角分别为75°，75°，
∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
∴三个角分别为45°，45°，90°，
∵90°＝2×45°，
∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一个是30°的直角三角形，
∴另两个角分别为60°，90°，
∵60°＝2×30°，
∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
(2)①证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，
∴∠BAE＝2∠ADB，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠ADB，
∴∠BAE＝2∠E，
∴△ABE是“倍角三角形”；
②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，
如图，

若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∵△BPE是“倍角三角形”，
∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，
∴∠BEP＝20°或40°；
若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，
∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，
∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，
∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，
∵△BPE是等腰三角形，
∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，
综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．
2．(2022秋•义乌市校级月考)【概念认识】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】(1)如图②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分线BD交AC于点D．求∠BDC的度数．
(2)如图③所示，在△ABC中．BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC三分线，且∠BPC＝140°．求∠A的度数．
【延伸推广】(3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P，若∠A＝m°(m＞54)，∠ABC＝54°．求出∠BPC的度数．(用含m的式子表示)

【分析】(1)分BD是邻AB的三分线和BD是邻BC的三分线两种情况解答即可；
(2)由∠BPC＝140°，得∠PBC+∠PCB＝40°，故∠ABC+∠ACB＝40°，可得∠ABC+∠ACB＝120°，从而∠A＝60°；
(3)分四种情况分别解答即可．
【解答】解：(1)当BD是“邻AB三分线”时，∠ABD＝∠ABC＝15°，
则∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，
当BD′是“邻BC三分线”时，∠ABD′＝∠ABC＝30°，
则∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，
综上所述，∠BDC的度数为95°或110°；
(2)∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
∵BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠A＝60°；
(3)如图：

∵∠A＝m°，∠ABC＝54°，
∴∠ACD＝(m+54)°，
①当BP是邻AB的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，
∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝(m+36)°，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；
②当BP是邻AB的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，
∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝(m+18)°，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝(m﹣18)°；
③当BP是邻BC的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，
∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝(m+36)°，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝(m+18)°；
④当BP是邻BC的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，
∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝(m+18)°，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；
综上所述，∠BPC度数为m或m﹣18或m+18或m．

3．(2022春•石嘴山校级期末)[问题情境]
我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|．

[拓展]
现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1，y1)、N(x2，y2)之间的折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图中，点M(﹣1，1)与点N(1，﹣2)．
之间的折线距离d(M，N)＝|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|＝2+3＝5，
[应用]
解决下列问题：
(1)已知点E(3，2)，点F(1．﹣2)，求d(E，F)的值；
(2)已知点E(3，1)，H(﹣1，n)，若d(E，H)＝6，求n的值；
(3)已知点P(3，4)，点Q在y轴上，O为坐标系原点，且△OPQ的面积是4.5，求d(P，Q)的值．

【分析】(1)根据折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|计算即可；
(2)根据折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，构建方程求解即可；
(3)设Q(0，m)，利用三角形的面积公式求出m的值，再根据折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|计算即可求解．
【解答】解：(1)∵点E(3，2)，点F(1，﹣2)，
∴d(E，F)＝|3﹣1|+|2﹣(﹣2)|＝6；
(2)∵E(3，1)，H(﹣1，n)，d(E，H)＝6，
∴d(E，H)＝|3﹣(﹣1)|+|1﹣n|＝6，
解得：n＝﹣1 或3；
(3)如图，设Q(0，m)．

由题意，•|m|•2＝4.5，
解得m＝±3，
∴Q(0，3)或(0，﹣3)，
当Q(0，3)时，d(P，Q)＝|3﹣0|+|4﹣3|＝4，
当Q(0，﹣3)时，d(P，Q)＝|3﹣0|+|4﹣(﹣3)|＝10，
∴d(P，Q)＝4或10．
4．(2022春•镇江期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．
【理解】
(1)若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为 　12　°；
(2)若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为 　35或　°；
(3)已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；
【应用】
如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．

【分析】(1)设最小角为α，由题意可得α+2α＝＝36°，求出α即为所求；
(2)当∠A是“开心角”，则最小角为35°；当∠A不是“开心角”，设最小角为α，α+2α＝110°，α＝()°；
(3)三角形另一个开心角是2∠A，第三个内角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠A，可得∠A≤45°；
【应用】由题意可得∠PAC＝180°﹣2∠α，设∠PCA＝x，则x＝2∠α﹣30°，∠AEB＝240°﹣3∠α，∠ABE＝2∠α﹣60°，分两种情况讨论：①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，求得∠α＝40°；②当∠BAE与∠AEB互为开心角，∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB(舍)，求得∠α＝48°．
【解答】解：(1)设最小角为α，
∵△ABC为开心三角形，∠A＝144°，
∴α+2α＝180°﹣144°＝36°，
∴α＝12°，
故答案为：12；
(2)当∠A是“开心角”，则最小角为35°；
当∠A不是“开心角”，设最小角为α，
∴α+2α＝180°﹣70°＝110°，
∴α＝()°，
故答案为：35或；
(3)∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，
∴另一个开心角是2∠A，
∴第三个内角是180°﹣3∠A，
∵∠A是最小内角，
∴∠A≤180°﹣3∠A，
∴∠A≤45°；
【应用】
∵AD平分△ABC的内角∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE＝∠α，
∴∠PAC＝180°﹣2∠α，
设∠PCA＝x，
∵CD平分△ABC的外角∠DCF，
∴∠BCD＝∠CDF＝x，
∴∠ACB＝180°﹣2x，
∵∠P＝30°，
∴180°﹣2∠α+x＝150°，
∴x＝2∠α﹣30°，
∴∠AEB＝∠α+180°﹣2x＝240°﹣3∠α，
∴∠ABE＝180°﹣∠α﹣(240°﹣3∠α)＝2∠α﹣60°，
①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，
∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，
∴∠α＝(2∠α﹣60°)或∠α＝2(2∠α﹣60°)，
解得∠α＝40°；
②当∠BAE与∠AEB互为开心角，
∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE，∠EAC＝∠BAE，
∴∠BAE＝2∠AEB舍去，
∴∠α＝(240°﹣3∠α)，
解得∠α＝48°，
综上所述：40°或48°．
5．(2022春•崇川区期末)定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
(1)如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求证：△ABD为“奇妙三角形”
(2)若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；
(3)如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．


【分析】(1)根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明△ABD为“奇妙三角形”．
(2)由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC是直角三角形．
(3)由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．
【解答】(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
在△ABC中，∵∠ACB＝80°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
即∠A+2∠ABD＝100°，
∴△ABD为“奇妙三角形”．
(2)证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，
∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，
∴∠B＝10°或∠A＝10°，
当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．
当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．
由此证得，△ABC是直角三角形．
(3)解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵△ABD为“奇妙三角形”，
∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，
①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝(100°﹣40°)÷2＝30°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，
∴∠C＝80°；
②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，
∴∠C＝100°；
综上得出：∠C的度数为80°或100°．
6．(2022春•亭湖区校级月考)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．

(1)如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出(或在图中直接描出)AB边上的所有“好点”点D；
(2)△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；
(3)如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．
①求证：OH⊥AB；
②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．

【分析】(1)直角三角形的“好点”是斜边的中点，作斜边上的高，垂足也为“好点”，即可得答案；
(2)作AE⊥BC，解斜△ABC，设BD＝a，根据AD2＝DE2+AE2＝BD•CD列方程求得；
(3)①由△ACH∽△DBH得，CH•HD＝AH•BH，结合BH2＝CH•HD，得证；
②先确定AD是直径，然后求出AH、BH、BD、BH、CH，从而求出比值．
【解答】解：(1)如图1，

斜边AB的中点D与斜边AB上的高CD'的垂足D'均为AB边长的“好点”．
(2)如图2，

作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，tanB＝，
∴设AE＝3a，BE＝4a，
tanC＝，
∴CE＝AE＝3a，
∴3a+4a＝7，
∴a＝1，
∴AE＝CE＝3，BE＝4，
∴AB＝5，
设BD＝x，
∴DE＝|4﹣x|，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
AD2＝DE2+AE2＝(4﹣x)2+32，
∵点D是BC边上的“好点”，
∴AD2＝BD•CD＝x•(7﹣x)，
∴x•(7﹣x)＝(4﹣x)2+32，
∴x1＝5，x2＝，
即BD＝5或．
(3)如图3，

①证明：∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，
∴BH2＝CH•HD，
∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，
∴△ACH∽△DBH，
∴，
∴CH•HD＝AH•BH，
∴BH2＝AH•BH，
∴AH＝BH，
∴OH⊥AB；
②连接AD，
设OH＝a，则OA＝3a，
由①知，OH⊥AB，
又∵OH∥BD，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∴OA＝OD＝3a，
在Rt△AOH 中，由勾股定理得，
AH＝，
∵AH＝BH＝，OA＝OD，
∴BD＝2a，
在Rt△BDH中，由勾股定理得，
DH＝＝，
由BH2＝CH•DH得：，
∴CH＝，
∴．
7．(2021秋•如皋市期末)【了解概念】
定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线．
【理解运用】
(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；
【拓展提升】
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；
(3)在(2)的条件下，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．


【分析】(1)根据半线三角形的定义进行判断即可；
(2)过点A作AN⊥AM交MC于点N，可证明△MAB≌△NAC，则AM＝AN，所以三角形MAN是等腰直角三角形，由此可解答；
(3)在(2)的基础上可知，MB＝NC，AM＝AN＝1，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，由此可得MB的长．
【解答】解：(1)△ABC是半线三角形，理由如下：
取BC得中点D，连接AD，

∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝AB，
∴△ABC是半线三角形．
(2)过点A作AN⊥AM交MC于点N，如图，

∵MD为△MBC的BC边的半线，
∴MD＝BC＝BD＝CD，
∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，
∴∠BMC＝90°，
同理∠BAC＝90°，
又∵∠MOB＝∠AOC，
∴∠MBA＝∠MCA，
∵∠MAN＝∠BAC＝90°，
∴∠MAB＝∠NAC．
∵AB＝AC，
∴△MAB≌△NAC(ASA)，
∴AM＝AN，
又∵∠MAN＝90°，
∴∠AMC＝∠ANM＝45°．
(3)由题意可知，BC＝2MD＝3，
由(2)知△MAB≌△NAC(ASA)，
∴MB＝NC，AM＝AN＝1，
∴MN＝，
在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，
∴MB2+(+MB)2＝32，
解得，MB＝2﹣(负值舍去)．
故MB的值为2﹣．
8．(2021秋•顺义区期末)我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．
如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．
已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点(D与A，B，C不重合)．
(1)若∠A＝90°，则△ABC的正度为 　　；
(2)在图1，当点D在腰AB上(D与A、B不重合)时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．
(3)若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得出答案；
(2)作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．设AD＝x，AE＝x，求出AD＝x，则可得出△ADE是等腰直角三角形，则可得出答案；
(3)设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．由三角形的周长求出x＝2，得出AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，由勾股定理求出AH，分两种情况：当AD＝DC时，当AC＝DC＝6时，可求出答案．
【解答】解：(1)若∠A＝90°，，则△ABC的正度为，
故答案为：；
(2)用尺规作出等腰△ACD，如图1，

作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．
∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．
∵△ACD的正度是，
∴，
∴，
∴．
在Rt△ADE中，设AD＝x，AE＝x，
∴．
∴DE＝AE．
∴△ADE是等腰直角三角形．
∴∠A＝45°．
(3)存在点D，使△ACD具有正度．
∵△ABC的正度为，△ABC的周长为22，
∴．
设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．
∵△ABC的周长为22，
∴3x+5x+3x＝22．
∴x＝2．
∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，
作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，
∴AH＝．
①当AD＝DC时，如图2所示，

设AD＝DC＝y，则HD＝5﹣y，
由AH2+HD2＝AD2，得11+(5﹣y)2＝y2．
解得y＝，
即AD＝．
∴△ACD的正度为．
②当AC＝DC＝6时，
如图3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，

∴DA＝．
∴△ACD的正度为．
综上所述，△ACD的正度为或．
9．(2021秋•丹阳市期末)梅涅劳斯(Menelaus)是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图(1)，如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图(2)，过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有，，∴＝1．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图(3)，△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：＝1．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：
(2)如图(4)，等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE的长为 　　．
(3)如图(5)，△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 　　．


【分析】(1)过点C作CN∥XZ交AY于点N，根据平行线截线段成比例的知识解答即可；
(2)根据梅涅劳斯定理进行推理；
(3)根据梅涅劳斯定理得，＝1，则＝，由面积公式得SBCEF＝S△BCF+S△CEF，即可得出答案．
【解答】(1)证明：如答图1，过点C作CN∥XZ交AY于点N，

则＝，＝．
故：••＝••＝1．
(2)解：如答图2，

根据梅涅劳斯定理得：＝1．
又∵BF＝2AF，
∴＝，＝2，
∴DE＝AE．
在等边△ABC中，∵AB＝2，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝1．
∴由勾股定理知：AD＝＝＝．
∴AE＝．
故答案是：；
(3)解：∵DEF是△ABC的梅氏线，
∴由梅涅劳斯定理得，＝1，
即××＝1，则＝．
如答图3，连接FC，

S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，
于是S四边形BCEF＝S△BCF+S△CEF
＝S△ABC
＝×2
＝．
故答案是：．
10．(2021秋•洪江市期末)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数；
(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
(3)如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

【分析】(1)根据等腰三角形的性质求出∠ACD＝44°，再根据相似三角形的性质得到∠BCD＝∠A，计算即可；
(2)根据三角形内角和定理得到∠ACB＝80°，进而判断出△ABC不是等腰三角形，根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝44°，得到△ACD为等腰三角形和△BCD∽△BAC，根据三角形的完美分割线证明结论；
(3)根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．
【解答】(1)解：∵AD＝CD，∠A＝44°，
∴∠ACD＝∠A＝44°，
∵CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝44°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝88°；
(2)证明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣(∠A+∠B)＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线；
(3)解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
∴AC＝AD，
∵AC＝2，
∴AD＝2，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴BC2＝BA•BD，
设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x，
∴()2＝x(x+2)，
∴x＝±﹣1，
∵x＞0，
∴x＝﹣1，
∴BD＝﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴CD＝﹣．
11．(2021秋•石景山区期末)在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点P是线段CB上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作直线l⊥CB交AB于点Q．给出如下定义：
若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在△ACB的边上，则称点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．
例如，图1中的点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．
(1)如图2，若CP＝1，点M1，M2，M3，M4在AC边上且AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6．在点M1，M2，M3，M4中，是△ACB的关于直线l的“反称点”为 　M2、M4　；
(2)若点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM的长；
(3)存在直线l及点M，使得点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围．


【分析】(1)由轴对称的性质得MN⊥l，MN⊥AC，得MN直线截△ABC得到的含∠A的三角形是等腰直角三角形，则点N1在△ABC的外部，同理点M2关于直线l对称N2，再证M1、M3不是△ACB的关于直线l的“反称点”，M2、M4是△ACB的关于直线l的“反称点”即可；
(2)分三种情况，①若AC为底边，△ACN是等腰直角三角形；②若AC为腰且∠A为顶角；③若AC为腰且∠ACN为顶角，分别求出AM的长即可；
(3)由(1)知，0＜AM＜6时，AM等于2倍的M到l的距离时，N点在AB边上，AM＝6时，M到l的距离小于等于3时，N点在BC边上，当M到l的距离大于3时，N点在△ABC的外部，即可得出结论．
【解答】解：(1)∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，
∴∠A＝45°，
∵点N与点M关于直线l对称，直线l⊥CB，∠ACB＝90°，
∴MN⊥l，MN⊥AC，
∴MN直线截△ABC得到的含∠A的三角形是等腰直角三角形，
∴MN直线与AB边的交点到点M的距离等于AM，
∵AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6，CP＝1，
∴点M1关于直线l对称N1，M1N1＝2＞AM1，
∴点N1在△ABC的外部，
同理，点M2关于直线l对称N2，M2N2＝2＝AM2，点N2在△ABC的AB边上，
点M3关于直线l对称N3，M3N3＝2＜AM3，点N3在△ABC的内部，
AM4＝6，则点M4与点C重合，M4N4＝2＜BC，点N4在△ABC的BC边上，
∴M1、M3不是△ACB的关于直线l的“反称点”，M2、M4是△ACB的关于直线l的“反称点”，
故答案为：M2、M4；
(2)∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵点N与点M关于直线l对称，直线l⊥CB，∠ACB＝90°，
∴MN⊥l，MN⊥AC，
∴MN∥BC，
若△ACN是等腰三角形，
①若AC为底边，△ACN是等腰直角三角形，如图1所示：
则CN＝AN，
∴∠A＝∠NCA＝45°，
∴∠NCB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠NCB＝∠B，
∴CN＝BN，
∴AN＝BN，
∴N是AB的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴M是AC的中点，
∴AM＝3；
②若AC为腰且∠A为顶角，如图2所示：
则AN＝AC＝6，
在Rt△AMN中，∠AMN＝90°，∠A＝45°，
∴AM＝AN＝3；
③若AC为腰且∠ACN为顶角，则点N与点B重合，点M与点C重合，如图3所示：
∴AM＝6；
综上所述，AM的长为3或或6；
(3)由(1)知，0＜AM＜6时，AM等于2倍的M到l的距离时，N点在AB边上，
AM＝6时，M到l的距离小于等于3时，N点在BC边上，
当M到l的距离大于3时，N点在△ABC的外部，
∵CP等于M到l的距离，
∴0＜CP≤3．



12．(2021秋•鄞州区期末)【问题提出】
如图1，△ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即AD×AE＝BD×CE，则称DE是△ABC的“友好分割”线段．
(1)如图1，若DE是△ABC的“友好分割”线段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的长；
【发现证明】
(2)如图2，△ABC中，点F在BC边上，FD∥AC交AB于D，FE∥AB交AC于E，连结DE，求证：DE是△ABC的“友好分割”线段；
【综合运用】
(3)如图3，DE是△ABC的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画AG∥DE交△ADE的外接圆于点G，连结GE，设＝x，＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②连结BG，CG，当y＝时，求的值．


【分析】(1)设AE＝x，利用“友好分割”线段的定义得到等积式，将已知条件代入等积式中化简求得AE，则AC＝AE+EC，结论可得；
(2)利用平行线分线段成比例定理，通过等量代换即可得出结论；
(3)①过点C作CH∥BD交DF于点H，利用平行线分线段成比例定理，得到比例式，，将两个等式左右分别相乘，整理后将＝x，＝y代入即可得出结论；
②利用①的结论可以得到；通过证明△BDG∽△GEC，利用相似三角形的性质得出结论．
【解答】(1)解：设AE＝x，
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD•AE＝BD•EC．
∵AD＝2CE，AB＝8，
∴2EC•AE＝(8﹣AD)•EC．
∴2x＝8﹣2EC．
∴x＝4﹣EC，
∴AE＝4﹣EC．
∴AC＝AE+EC＝4．
(2)证明：∵FD∥AC，
∴．
∵FE∥AB，
．
∴．
∴AD•AE＝BD•EC．
∴DE是△ABC的“友好分割”线段；
(3)解：①∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD•AE＝BD•EC．
∴．
∵＝x，
∴＝x．
过点C作CH∥BD交DF于点H，如图，

∵CH∥BD，
∴，．
∴．
∴．
∵＝x，＝y，
∴y×＝x．
∴y＝x2．
∴y关于x的函数表达式为：y＝x2；
②连接DG，如图，

∵y＝，y＝x2，
∴．
∵x＞0，
∴x＝．
即．
∵AG∥DE，
∴．
∴AD＝EG．
∴．
∴．
∴AE＝DG，∠ADE＝∠GED．
∴∠BDF＝∠GEF．
∵，
∴∠GDE＝∠AED．
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠GDE＝∠CEF．
∴∠BDF+∠GDE＝∠GEF+∠CEF．
即∠BDG＝∠GEC．
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD•AE＝BD•EC．
∴．
∴．
∴△BDG∽△GEC．
∴．
∵EG＝AD，
∴＝．
13．(2021秋•鼓楼区校级期末)定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1＝∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；
定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称△PQR为△ABC的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上．
(1)如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；
(2)如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．
①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；
②证明：△ABC的光线三角形是唯一的．

【分析】(1)证明∠AEF＝∠DEC＝75°，可得结论；
(2)①连接AD，证明AD⊥CB，利用等腰三角形的三线合一的性质证明BD＝DC，∠BAD＝∠CAD，推出BD＝DE＝DF，再分别证明∠FDB＝∠EDC＝30°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∠AFE＝∠DFB＝75°，可得结论；
②证明△DFE是顶角为120°，腰长为BC的一半的等腰三角形，即可解决问题．
【解答】(1)解：如图3中，∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠B＝∠C＝75°，
∵EF∥CB，
∴∠AEF＝75°，
∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，
∴∠AEF＝∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°；

(2)①证明：如图4中，

∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝DE，
∵CF⊥AB，
∴∠CFB＝90°，
∵DB＝DC，
∴DF＝DB＝DC，
∴DF＝DB＝DE＝DC，
∴∠B＝∠DFB＝75°，∠DCE＝∠DEC＝75°，
∴∠FDB＝∠EDC＝30°，
∴DF，DE关于BC满足光学性质，
∵∠DEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝30°，
∴∠DEF＝∠EDC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ACB＝75°，∠AFE＝∠B＝75°，
∴∠AFE＝∠DFB＝75°，∠AEF＝∠DEC＝75°，
∴FE，DE关于AC满足光学性质，EF，DF关于AB满足光学性质，
∴△DEF是为△ABC的光线三角形；

②证明：由①可知，DE＝DF＝DB＝DC，∠EDF＝120°，
∴△DFE是顶角为120°，腰长为BC的一半的等腰三角形，
∴△DEF是唯一确定的，
∴△ABC的光线三角形是唯一的．
14．(2021秋•丰台区期末)对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
(1)如图1，点A，B的坐标分别为(﹣2，0)，(2，0)，则在P1(﹣1，3)，P2(0，2)，P3(0，﹣1)，P4(0，4)中，线段AB的“轴点”是 　P2，P3，P4　；线段AB的“近轴点”是 　P3，P2　．
(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 　t＜0或t＞3　．

【分析】(1)由题意可知A、B关于y轴对称，则线段的“轴点”在y轴上；
(2)分两种情况：①当P点在线段AB上方时，②当P点在线段AB下方时，分别求△PAB为等边三角形时t的值，即可确定t的取值范围．
【解答】解：(1)∵A(﹣2，0)，B(2，0)，
∴A、B关于y轴对称，
∵PA＝PB，
∴P点在y轴上，
∴线段AB的“轴点”是P2，P4，P3，
当P2(0，2)时，AP＝BP＝2，
∴∠APO＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴P2是线段AB的“近轴点”，
当P3(0，﹣1)时，AP＝BP＝，
∴∠APB＞60°，
∴P3是线段AB的“近轴点”，
故答案为：P2，P3，P4；P3，P2；
(2)如图1，∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵AP＝BP，
∵A(3，0)，
∴OB＝，
当P点在y轴上时，P(0，﹣)，
∴当t＜0时，P为线段AB的“远轴点”；
如图2，当AP⊥x轴时，
∵∠BAO＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∵PA＝PB，
∴∠APB＝60°，
∴此时P点是线段AB的“远轴点”，
∵A(3，0)，
∴OA＝3，
∴AB＝2，
∴AP＝2，
∴t＞3时P为线段AB的“远轴点”；
综上所述：t＜0或t＞3时P为线段AB的“远轴点”，
故答案为：t＜0或t＞3．


15．(2022秋•长沙期中)概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

理解概念：
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用：
(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．
动手操作：
(3)在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB的度数．
【分析】(1)根据“等角三角形”的定义解答；
(2)根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明；
(3)分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】解：(1)△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
(3)当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝50°+65°＝115°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝＝，
∴∠ACB＝，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+50°＝x，
解得，x＝，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝，
∴∠ACB＝，
综上所述：∠ACB的度数为100°或115°或或．



16．(2022春•华州区期末)阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
(1)理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　是　(填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 　是　(填“是”或“不是”)奇异三角形．
(2)探究：在Rt△ABC，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
【分析】(1)①根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断；
②根据奇异三角形的定义判断；
(2)分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断．
【解答】解：(1)①设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
故答案为：是；
②∵12+()2＝8，2×22＝8，
∴12+()2＝2×22，
∴该三角形是奇异三角形，
故答案为：是；
(2)当c为斜边时，则b2＝c2﹣a2＝100﹣50＝50，
则a2+b2≠2c2，a2+c2≠2b2，
∴Rt△ABC不是奇异三角形；
当b为斜边时，b2＝a2+c2＝150，
则有a2+b2＝50+150＝200＝2c2，
∴Rt△ABC是奇异三角形，
答：当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形．
17．(2022•任城区三模)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°＝　1　．
(2)sad90°＝　　．
(3)如图②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．

【分析】(1)顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，从而可得sad60°；
(2)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形，从而可得sad90°＝；
(3)在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于点E，分别表示出DE、AE，CE、CD，继而可求出sadA的值．
【解答】解：(1)sad60°＝1；

(2)sad90°＝；

(3)设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a，
在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于点E，如图所示：
则DE＝AD•sinA＝4a•＝，AE＝AD•cosA＝4a•＝，
CE＝4a﹣＝，，
∴sadA＝．

18．(2021•柯城区模拟)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“等底高三角形”，这条边叫做等底线，这条边上的高叫做等高线．如图：在△ABC，CD⊥AB于点D，且AB＝CD，则△ABC为等底高三角形，AB叫等底线，CD叫等高线．
【概念感知】
判断：对的打“√”，错的打“×”．
(1)等边三角形不可能是等底高三角形． 　√　
(2)等底高三角形不可能是钝角三角形． 　×　
【概念理解】
若一个等腰三角形为等底高三角形，则此三角形的三边长之比为 　　．
【概念应用】
(1)若△ABC为等底高三角形，等底线长为2，求三角形的周长的最小值．
(2)若一个等底高三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

【分析】拿到这种阅读理解题，一定要先理解给出的新定义的含义，这是做题的根本．根据题意，多画图，才能找到题目的本意．
【解答】解：【概念感知】
(1)√，边与高构成直角三角形，斜边不可能等于直角边；
(2)×，如图1，高在一边的延长线上即可．
【概念理解】分两种情况：第一种情况如图2﹣1，底边上的高等于底边时，
设BD＝a，则BD＝CD＝a，
∴BC＝AD＝2a，
在Rt△ABD中，AB＝AC＝＝＝，
∴AB：AC：BC＝．
第二种情况，如图2﹣2，等腰直角三角形中，两个腰分别为底和高时，
设BC＝a，则AC＝a，
在RtRt△ABC中，AB＝a，
∴AC：BC：AB＝1：1：．
【概念应用】
(1)如图3，BC＝AD＝2，设BD＝x(0＜x＜2)，则CD＝2﹣x，
∴在Rt△ABD中，AB＝，
在Rt△ACD中，AC＝，
∴l△ABC＝++2．
∵是点(2，0)到(0，x)的距离，
是点(2，2)到(0，x)的距离，
如图4，作(2，2)关于y轴的对称点(﹣2，2)，
则(﹣2，2)到(2，0)距离即为所求．
∴(l△ABC)min＝2+2．
(2)如图1，设AB＝．
∵BC＝AD，
∴AB＝，
设BC＝AD＝a，
∴，
∴，
∴CD＝a．
∴，
，
又A、B均为锐角，C为钝角，且sinB＜singA．
∴∠B最小，．
故答案为．

19．(2021•宁波模拟)在三角形的三边中，若其中两条边的积恰好等于第三边的平方，我们把这样的三角形叫做有趣三角形，这两条边的商叫正度，记为k(0＜k≤1)．
(1)求证：正度为1的有趣三角形必是等边三角形．
(2)如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，求证：△ABC是有趣三角形．
(3)如图②，菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，DE＝DC．延长BD到P，使DP＝BE．
求证：△BCE，△FCP，△BCP是具有相同正度的有趣三角形．

【分析】(1)不妨假设BC2＝AB•AC．证明AB＝BC＝AC，可得结论；
(2)证明△DAC∽△ACB，推出＝，可得AC2＝AB•CB，可得结论；
(3)利用相似三角形的性质证明EC2＝BE•CB，推出△ECB是有趣三角形，证明PF2＝CP•CF，推出△PCF是有趣三角形，证明PC2＝PB•CB，推出△PCB是有趣三角形，再证明它们的正度都是可得结论．
【解答】证明：(1)不妨假设BC2＝AB•AC．

∵正度为1，
∴＝1，
∴AB＝AC，
∵BC2＝AB•AC＝AB2，
∵BC＝AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形；

(2)如图①中，∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DAC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴△DAC∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AC2＝AB•CB，
∴△ABC是有趣三角形；

(3)如图②中，∵点E，F是对角线BD的三等分点，DP＝BE，
∴BE＝EF＝FD＝DP，
∴BF＝DE＝FP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵CD＝DE，
∴CB＝CD＝BF＝DE＝FP，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCF+∠ECF＝∠CBE+∠ECB，
∴∠ECF＝∠CBE，
∵∠CFE＝∠CFB，
∴△FCE∽△FBC，
∴＝，
∴CF2＝EF•FB，
∴EC2＝BE•CB，
∴△ECB是有趣三角形，
∵CF2＝FD•FP，
∴＝，
∵∠CFD＝∠CFP，
∴△CFD∽△PFC，
∴＝，
∴PF2＝CP•CF，
∴△PCF是有趣三角形，
∵△CFD∽△PFC，
∴∠CDF＝∠PCF＝∠PBC，
∵∠P＝∠P，
∴△PCF∽△PBC，
∴＝，
∴PC2＝PB•CB，
∴△PCB是有趣三角形，
∵△ECB的正度＝＝，△PCF的正度＝＝＝＝，△PCB的正度＝＝，
∴△BCE，△FCP，△BCP是具有相同正度的有趣三角形．

20．(2021•临海市一模)在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．

(1)概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 　两直角边的平方和与斜边的平方的差　；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为 　4　；
(2)性质探究：如图1，CD是△ABC的中线，AC＝b，BC＝a，AB＝2c，CD＝d，记△ACD中∠ADC的勾股差为m，△BCD中∠BDC的勾股差为n；
①求m，n的值(用含a，b，c，d的代数式表示)；
②试说明m与n互为相反数；
(3)性质应用：如图2，在四边形ABCD中，点E与F分别是AB与BC的中点，连接BD，DE，DF，若＝，且CD⊥BD，CD＝AD，求的值．
【分析】(1)依据勾股差的定义即可得到直角的勾股差等于两直角边的平方和与斜边的平方的差；依据定义即可得出结论；
(2)①依据勾股差的定义可得：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2；
②证明m+n＝0即可；
(3)依据勾股差的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及(2)中得出的结论计算即可．
【解答】解：(1)∵一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差，
∴直角的勾股差为两直角边的平方和与斜边的平方的差．
∴等腰三角形的底角的勾股差为腰的平方+底边的平方+另一腰的平方．
∵等腰三角形的两个腰相等，
∴等腰三角形的底角的勾股差为底边的平方＝22＝4．
故答案为：两直角边的平方和与斜边的平方的差；4；
(2)①∵CD是△ABC的中线，AB＝2c，
∴AD＝BD＝c．
依据勾股差的定义可得：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2；
②过点C作CM⊥AB于点M，如图，

在Rt△ACM中，由勾股定理得：
b2＝CM2+AM2，
同理可得：
a2＝CM2+BM2，
CM2＝d2﹣MD2．
∴a2+b2＝2CM2+AM2+BM2．
∵AD＝BD＝c，
∴AM＝AD﹣MD＝c﹣MD，
BM＝BD+MD＝c+MD．
∴a2+b2＝2(d2﹣MD2)+(c﹣MD)2+(c+MD)2
＝2d2﹣2MD2+c2﹣2cMD+MD2+c2+2cMD+MD2
＝2d2+2c2．
由(1)知：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2，
∴m+n＝c2+d2﹣b2+c2+d2﹣a2
＝2c2+2d2﹣(a2+b2)
＝0．
∴m与n互为相反数．
(3)∵＝，
∴设DF＝3m，AB＝4m．
∵F是BC的中点，CD⊥BD，
∴DF＝BC．
∴BC＝2DF＝6m．
∵点E与F分别是AB与BC的中点，
∴CF＝DF＝BF＝3m，BE＝AE＝2m．
∵点E与F分别是AB与BC的中点，
∴利用(2)中的结论可得：
BF2+DF2﹣BD2+CF2+DF2﹣CD2＝0，
BE2+DE2﹣BD2+AE2+DE2﹣AD2＝0．
∴4DF2＝BD2+CD2，
2AE2+2DE2＝BD2+AD2．
∵CD＝AD，
∴BD2+CD2＝BD2+AD2．
∴4DF2＝2AE2+2DE2．
∴2×(3m)2＝(2m)2+DE2．
解得：DE＝m．
∴＝．