高中数学高考第2讲　函数的单调性与最值 试卷

第2讲　函数的单调性与最值一、选择题1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　)A.－2   B.2   C.－6   D.6解析　由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6.答案　C2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　)A.y＝    B.y＝cos xC.y＝ln(x＋1)    D.y＝2－x解析　∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有y＝2－x＝在(－1，1)上是减函数.答案　D3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，在区间[－2，2]上的最大值等于(　　)A.－1   B.1   C.6   D.12解析　由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数.∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.答案　C4.已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)A.c<b<a    B.b<a<cC.b<c<a    D.a<b<c解析　∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f＝f，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)<f<f(3)，即b<a<c.答案　B5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)A.(8，＋∞)   B.(8，9]   C.[8，9]   D.(0，8)解析　2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8<x≤9.答案　B二、填空题6.(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.解析　由题意知g(x)＝函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0，1).答案　[0，1)7.(2017·石家庄调研)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.解析　由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.答案　38.(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.解析　作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)三、解答题9.已知函数f(x)＝－(a>0，x>0).(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.(1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.(2)解　∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，∴f＝，f(2)＝2，易知a＝.10.已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数).(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.解　(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－＝(x1－x2).∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当a＜0时，f(x)＝2x＋，当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.11.(2017·郑州质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝(　　)A.4   B.2   C.   D.解析　当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.当0<a<1，则y＝ax为减函数，有a－1＝4，a2＝m，此时a＝，m＝.此时g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数.故a＝.答案　D12.(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为(　　)A.[0，3]    B.(1，3)C.[2－，2＋]    D.(2－，2＋)解析　由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，所以－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，解得2－<b<2＋.所以实数b的取值范围为(2－，2＋).答案　D13.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.解析　依题意，h(x)＝当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.答案　114.已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.解　(1)由x＋－2＞0，得＞0，当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，∴g′(x)＝1－＝>0.因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.则f(x)min＝f(2)＝ln.(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a>3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.故a>2时，恒有f(x)>0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞).