湖北省黄陂区武汉市盘龙二中2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年湖北省黄陂区武汉市盘龙二中八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）本题共10小题，每小题均给出A，B，C，D四个选项，有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上，填在试题卷上无效.1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x＝﹣1 D．x≤﹣13．（3分）计算（2a4）3的结果是（　　）A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a74．（3分）新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m．数0.000000102用科学记数法表示为（　　）A．1.02×10﹣6 B．10.2×10﹣8 C．1.02×10﹣7 D．0.102×10﹣65．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 C．x2+2x+1＝（x﹣1）2 D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）6．（3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB．AE与CE的数量关系是（　　）A．AE＝CE B．AE＜CE C．AE＞CE D．无法确定7．（3分）如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）A．16cm B．19cm C．21cm D．25cm8．（3分）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：（1）第一次提价p%，第二次提价q%（2）第一次提价q%，第二次提价p%；（3）第一，二次提价均为%，其中p、q是不相等的正数，三种方案中提价最多的是（　　）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案一样多9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，点O为AB的中点，点M为△ABC内一动点且OM＝2，点N为OM的中点，当BN+CM最小时，则∠ACM的度数为（　　）A．15° B．30° C．45° D．60°10．（3分）计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2023）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2022）的值（　　）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11．（3分）正五边形每个内角的度数为 　 　．12．（3分）已知a2+b2＝17，ab＝4，则（a+b）2的值是 　 　．13．（3分）计算﹣的结果是 　 　．14．（3分）若等腰三角形的一个内角为36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 　 　．15．（3分）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），下列四个结论：①当x＝1时，ax2+bx+c＝0，则a+b+c＝0；②若a﹣b+c＝0，则多项式ax2+bx+c有一个因式是x+1；③若b2﹣4ac＝0，则多项式ax2+bx+c的最小值是0；④若ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n），则（m+1）（n+1）＝．其中正确的是 　 　（填写序号）．16．（3分）如图，在△ABC中，∠CEF﹣∠CAD＝∠BAC＝60°，D、E为BC边上两点，F为边AB上的一点，连接AD，EF，BD＝AD＝BF，EF＝10，CD＝6．则BC＝　 　．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．计算：（1）[a3•a5+（3a4）2]÷a2；（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）．18．分解因式：（1）16x4﹣1；（2）（2a﹣b）2+8ab．19．解方程：．20．先化简，再求值：÷﹣（+1），其中，x＝3．21．如图是由小正方形组成的11×17网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，AC＝10．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB上画点D，使AD＝BD．再画点E，使∠AED＝45°；（2）在图（2）中，先画点F，使C，F两点关于直线AB对称，再在边AC上画点G，使AG＝BG．22．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h．（1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 　 　h．（2）求汽车实际走完全程所花的时间；（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以mkm/h的速度行驶，另一半路程以nkm/h的速度行驶（m≠n），朋友提醒他一半时间以mkm/h的速度行驶，另一半时间以nkm/h的速度行驶更快，你觉得谁的方案更快？请说明理由．23．问题提出，如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展（3）如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，直线AF与BC交于点G，点H为线段AB上一点，BH＝CG，BF与CH交于点I，若AG＝m，BF＝n，则IF＝　 　（用含m，n的式子表示）．24．在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，∠ABC＝90°，且AB＝BC．（1）如图（1），A（5，0），B（0，2），点C在第三象限，请直接写出点C的坐标；（2）如图（2），BC与x轴交于点D，AC与y轴交于点E，若点D为BC的中点，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），A（a，0），M在AC延长线上，过点M（m，﹣a）作MN⊥x轴于N，探究线段BM，AN，OB之间的数量关系，并证明你的结论．2022-2023学年湖北省黄陂区武汉市盘龙二中八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）本题共10小题，每小题均给出A，B，C，D四个选项，有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上，填在试题卷上无效.1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x＝﹣1 D．x≤﹣1【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故选：B．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．3．（3分）计算（2a4）3的结果是（　　）A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．【解答】解：（2a4）3＝8a12，故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．4．（3分）新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m．数0.000000102用科学记数法表示为（　　）A．1.02×10﹣6 B．10.2×10﹣8 C．1.02×10﹣7 D．0.102×10﹣6【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.000000102＝1.02×10﹣7，故选：C．【点评】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．5．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 C．x2+2x+1＝（x﹣1）2 D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义进行判断即可．【解答】解：A．a（x﹣y）＝ax﹣ay是单项式乘多项式，故不符合题意；B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3是多项式乘多项式，故不符合题意；C．x2+2x+1＝（x+1）2，因式分解错误，不符合题意；D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意；故选：D．【点评】本题考查因式分解的意义，牢固掌握因式分解的定义，能够根据定义对所给的式子进行判断是解题的关键．6．（3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB．AE与CE的数量关系是（　　）A．AE＝CE B．AE＜CE C．AE＞CE D．无法确定【分析】先利用FC∥AB，可得∠ADE＝∠F，再结合已知的DE＝FE，由对顶角相等得到∠AED＝∠CEF，利用AAS可证△ADE≌△CFE，由全等三角形的性质得出AE＝CE．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠ADE＝∠F，（两直线平行，内错角相等）又∵DE＝FE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AE＝CE．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质；证明△ADE≌△CFE是解答本题的关键．7．（3分）如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）A．16cm B．19cm C．21cm D．25cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC和AC＝2AE＝8cm，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm，故选：C．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（3分）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：（1）第一次提价p%，第二次提价q%（2）第一次提价q%，第二次提价p%；（3）第一，二次提价均为%，其中p、q是不相等的正数，三种方案中提价最多的是（　　）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案一样多【分析】根据各方案中的提价百分率，分别表示出提价后的单价，得到方案1：a（1+p）（1+q）；方案2：a（1+q）（1+p）；方案3：a（1+）2，方案1和2显然相同，用方案3的单价减去方案1的单价，提取a，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据p不等于q判定出其差为正数，可得出a（1+）2＞a（1+p）（1+q），进而确定出方案3的提价多．【解答】解：方案1：a（1+p%）（1+q%）；方案2：a（1+q%）（1+p%）；方案3：a（1+%）2，显然方案1、2结果相同，a（1+%）2﹣a（1+%）（1+q%）＝（100+）2﹣（100+p）（100+q）＝a[100+）2﹣（100+p）（100+q）]＝{[200+p+q）2﹣4（100+p）（100+q）]}＝{[（100+p）（100+q）﹣4（100+p）（100+q）]}＝[（100+p）（100+q）]2＝（p﹣q）2，∵p≠q，∴（p﹣q）2＞0，∴a（1+%）2＞a（1+p%）（1+q%），∴提价最多的是方案3．故选：C．【点评】此题考查了列代数式、整式混合运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，点O为AB的中点，点M为△ABC内一动点且OM＝2，点N为OM的中点，当BN+CM最小时，则∠ACM的度数为（　　）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】延长AB使至D，点B、点N分别为OD、OM的中点，根据中位线的性质可得，要想求BN+CM最小，求即可，当D、M、C三点共线时，最小，由题可知：OM＝2，即M在以点O为圆心，2为半径的圆上，直角三角形的性质求出∠D的度数，即可求出∠ACM的度数．【解答】解：延长AB至点D，使BD＝OB＝AB，∵点B、点N分别为OD、OM的中点，∴BN∥DM，，∴BN+CM＝，当D、M、C三点共线时，最小，由题可知：OM＝2，即M在以点O为圆心，2为半径的圆上，∴∠OMD＝90°，∵OM＝2，OD＝OB+BD＝4，∴∠D＝30°，∵∠A＝90°，∴∠ACM＝60°．故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，涉及到三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．10．（3分）计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2023）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2022）的值（　　）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【分析】可设2+3+…+2023＝x，1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝y，用含x或y数分别表示出相应的数，再进行求解即可．【解答】解：设2+3+…+2023＝x，1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝y，∴（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2023）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2022）＝xy﹣（y﹣2023）（x﹣2023）＝xy﹣（xy﹣2023y﹣2023x+20232）＝xy﹣xy+2023y+2023x﹣20232＝2023（x+y）﹣20232＝2023×2024﹣20232＝2023×（2024﹣2023）＝2023，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子，找到式子的规律，再利用整体思想解题是关键．二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11．（3分）正五边形每个内角的度数为 　108°　．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．12．（3分）已知a2+b2＝17，ab＝4，则（a+b）2的值是 　25　．【分析】根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵a2+b2＝17，ab＝4，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+2×4＝25，故（a+b）2的值为25，故答案为25．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．13．（3分）计算﹣的结果是 　　．【分析】先通分，再加减．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．14．（3分）若等腰三角形的一个内角为36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 　36°或108°　．【分析】等腰三角形的一个内角是36°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．【解答】解：分两种情况：当36°的角是底角时，则顶角度数为180°﹣36°×2＝108°；当30°的角是顶角时，则顶角为36°．故答案为：36°或108°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．15．（3分）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），下列四个结论：①当x＝1时，ax2+bx+c＝0，则a+b+c＝0；②若a﹣b+c＝0，则多项式ax2+bx+c有一个因式是x+1；③若b2﹣4ac＝0，则多项式ax2+bx+c的最小值是0；④若ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n），则（m+1）（n+1）＝．其中正确的是 　①②④　（填写序号）．【分析】①将x＝1代入ax2+bx+c＝0，即可判断；②当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝0，即可判断；③，根据平方的非负性，即可判断；④当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a（﹣1﹣m）（﹣1﹣n）＝a（m+1）（n+1）；x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c，则a（m+1）（n+1）＝a﹣b+c，即可判断．【解答】解：①将x＝1代入ax2+bx+c＝0，得a+b+c＝0，所以①正确；②若a﹣b+c＝0，则当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝0，则多项式ax2+bx+c有一个因式是x+1；所以②正确，③，∵b2﹣4ac＝0∴，∵，∴a＞0时，，a＜0时，，∴若b2﹣4ac＝0，则多项式ax2+bx+c的最值是0，所以③错误；④∵ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n），∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a（﹣1﹣m）（﹣1﹣n）＝a（m+1）（n+1），当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c，∴a（m+1）（n+1）＝a﹣b+c，∴，所以④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查多项式求值、平方的非负性，因式分解的应用，解题的关键是明确．16．（3分）如图，在△ABC中，∠CEF﹣∠CAD＝∠BAC＝60°，D、E为BC边上两点，F为边AB上的一点，连接AD，EF，BD＝AD＝BF，EF＝10，CD＝6．则BC＝　22　．【分析】如图，在AD右侧作∠CAK＝∠CAD，交BC延长线于点K，过点D作DG∥AB，交AK于G，交AC于L，过L分别作AD、DK、AK的高，分别相交于H、I、J；由根据平行线和角的数量关系得到∠ADG＝∠FBD，∠EFB＝∠GAD，从而得到△EFB≌△GAD，将EF转到AG，利用角的关系和角平分线的性质可再证明△LIC≌△LGJ，然后利用线段的关系计算从而得出结果．【解答】解：如图，在AD右侧作∠CAK＝∠CAD，交BC延长线于点K，过点D作DG∥AB，交AK于G，交AC于L，过L分别作AD、DK、AK的高，分别相交于H、I、J，∵AD＝BD，∠B＝∠BAD，∵DG∥AB，∴∠ADG＝∠DAB，∴∠B＝∠ADG＝∠DAB，∵∠ADC＝∠B+∠DAB＝∠ADG+∠ADG＝2∠ADG，∴BG是∠ADC的平分线；又∵∠CEF﹣∠CAD＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝∠FEC﹣∠FBE＝∠FEC﹣∠BAD＝（60°+∠DAC）﹣（60°﹣∠DAC）＝2∠DAC＝∠DAG，在△FBE与△ADG中，，∴△FBE≌△ADG（ASA），∴EF＝AG＝10．又∵角平分线DG、AC交于L，∴LH＝LI＝LJ，AH＝AJ，DH＝DI，∴∠K＝180°﹣∠B﹣∠BAK＝180°﹣∠BAD﹣∠BAK＝180°﹣（60°﹣∠DAC）﹣（60°+∠CAK）＝180°﹣（60°﹣∠DAC）﹣（60°+∠DAC）＝60°，在△DLC与△DKG中，∠DLC＝∠K＝60°，∠LDC＝∠KDG，∴∠DCL＝∠KGD，在△LIC与△LGJ中，，∴△LIC≌△LGJ（ASA），∴IC＝GJ，∵LH＝LI＝LG，AH＝AJ，DH＝DI，∴BD＝AD＝AH+DH＝AJ+DI＝（AG+GJ）+DI＝AG+GJ+DI＝AG+IC+DI＝AG+（IC+DI）＝AG+DC＝10+6＝16，∴BC＝BD+DC＝16+6＝22．故答案为：22．【点评】本题主要考查了与三角形有关的角的计算、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，重点是利用三角形全等，对线段进行转换，从而进行求解，难点是通过辅助线构造全等三角形．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．计算：（1）[a3•a5+（3a4）2]÷a2；（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）．【分析】（1）原式括号中利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并后利用单项式除以单项式法则计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（a8+9a8）÷a2＝10a8÷a2＝10a6；（2）原式＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29．【点评】此题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．18．分解因式：（1）16x4﹣1；（2）（2a﹣b）2+8ab．【分析】（1）利用平方差公式进行二次因式分解即可；（2）先利用完全平方公式展开，整理后再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）16x4﹣1＝（4x2）2﹣1＝（4x2+1）（4x2﹣1）＝（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（2a﹣b）2+8ab＝4a2﹣4ab+b2+8ab＝4a2+4ab+b2＝（2a+b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，（2）类型的题目通常先利用多项式的乘法运算整理成多项式的一般形式再进行因式分解．19．解方程：．【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：6（2x+1）＝5x，整理得：12x+6＝5x，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．先化简，再求值：÷﹣（+1），其中，x＝3．【分析】要熟悉混合运算的顺序，分式的除法转化为分式的乘法运算，最后算减法，注意化简后，将x＝3代入化简后的式子求出即可．【解答】解：原式＝÷﹣，＝×﹣，＝﹣，＝，当x＝3，原式＝．【点评】此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解，除法要统一为乘法运算是解题关键．21．如图是由小正方形组成的11×17网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，AC＝10．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB上画点D，使AD＝BD．再画点E，使∠AED＝45°；（2）在图（2）中，先画点F，使C，F两点关于直线AB对称，再在边AC上画点G，使AG＝BG．【分析】（1）平移网格特征寻找AB的中点D即可，构造等腰直角三角形周长点E即可；（2）根据全等三角形周长点F，作线段AB的垂直平分线交AC于点G，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点D，点E即为所求；（2）如图，点F，点G即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h．（1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 　　h．（2）求汽车实际走完全程所花的时间；（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以mkm/h的速度行驶，另一半路程以nkm/h的速度行驶（m≠n），朋友提醒他一半时间以mkm/h的速度行驶，另一半时间以nkm/h的速度行驶更快，你觉得谁的方案更快？请说明理由．【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间；（2）根据提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（﹣）中即可求出结论；（3）利用时间＝路程÷速度，分别找出按照司机及朋友的方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论．【解答】解：（1）∵设前一小时行驶的速度为xkm/h，且提速后的速度为原来速度的1.5倍，∴提速后走完剩余路程的时间为＝（h）．故答案为：．（2）依题意，得：﹣＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴﹣＝．答：汽车实际走完全程所花的时间为h．（3）朋友的方案更快，理由如下：按照司机的方案所需时间为+＝h；按照朋友的方案所需时间为＝h．﹣＝＝＝．∵m，n均为正数，且m≠n，∴（m﹣n）2＞0，mn（m+n）＞0，∴＞0，即﹣＞0，∴朋友的方案更快．【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出提速后走完剩余路程的时间；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）根据各数量之间的关系，用含m，n的代数式表示出按照司机及朋友的方案所需时间．23．问题提出，如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展（3）如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，直线AF与BC交于点G，点H为线段AB上一点，BH＝CG，BF与CH交于点I，若AG＝m，BF＝n，则IF＝　　（用含m，n的式子表示）．【分析】（1）如图2，由∠ACB＝∠DCE＝60°，得∠BCE＝∠ACD易证△BCE≌△ACD（SAS），利用全等三角形的性质等量代换即可求解；（2）AF+CF＝BF成立，如图，将CF绕点C旋转60°交BF于点M，得∠FCM＝∠ACB＝60°求得∠FCA＝∠MCB，结合（1）易证△CBM≌△CAF（ASA），利用全等三角形的性质等量代换即可求解；（3）如图，将CG绕点C旋转60°交BF的延长线于点N，连接HN可知∠GCN＝∠ABC＝60°，得CN∥BH，∠GCA＝∠NCB，结合（1）易证△CBN≌△CAG（ASA）得CN＝CG、BH＝AG，结合∠HBI＝∠CNI，∠BHI＝∠NCI易证△HBI≌△CNI（ASA）得，利用等量代换即可求解．【解答】解：（1）如图2，在△ABC和△DEC中，∵BC＝AC，EC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△ABC和△DEC是等边三角形，∴CD＝DE，即CF＝DE，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，又∵BC＝AC，EC＝DC，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，即BE＝AF，AF+CF＝BE+DE＝BF，即AF+CF＝BF；（2）结论：AF+CF＝BF成立，理由：如图，将CF绕点C旋转60°交BF于点M，∴∠FCM＝∠ACB＝60°，∴∠FCM﹣∠ACM＝∠ACB﹣∠ACM，∴∠FCA＝∠MCB，由（1）可知，△BCE≌△ACD，∴∠CBE＝∠CAD，又∵BC＝AC，∴△CBM≌△CAF（ASA），∴CM＝CF，BM＝AF，又∵∠FCM＝60°，△CMF是等边三角形，∴CF＝CM＝MF，∴AF+CF＝BM+MF＝BF，即AF+CF＝BF；（3）如图，将CG绕点C旋转60°交BF的延长线于点N，连接HN，∴∠GCN＝∠ABC＝60°，∴CN∥BH，∵∠ACB＝60°，∴∠GCN+∠ACN＝∠ACB+∠ACN，∴∠GCA＝∠NCB，由（1）可知，△BCE≌△ACD，∴∠CBN＝∠CAG，又∵BC＝AC，∴△CBN≌△CAG（ASA），∴CN＝CG，BH＝AG，又∵BH＝CG，∴CN＝BH，∵CN∥BH，∴∠HBI＝∠CNI，∠BHI＝∠NCI，∴△HBI≌△CNI（ASA），∴IB＝IN，∴，∴IF＝IN﹣FN＝IN﹣（BN﹣BF）＝，＝，AG＝m，BF＝n，∴，故答案为：．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的证明和性质；解题的关键是作辅助线构造全等属于中考常考题型．24．在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，∠ABC＝90°，且AB＝BC．（1）如图（1），A（5，0），B（0，2），点C在第三象限，请直接写出点C的坐标；（2）如图（2），BC与x轴交于点D，AC与y轴交于点E，若点D为BC的中点，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），A（a，0），M在AC延长线上，过点M（m，﹣a）作MN⊥x轴于N，探究线段BM，AN，OB之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）过C作CR⊥y轴于R，证明△AOB≌△BRC（AAS），由全等三角形的性质得出BR＝AO＝5，CR＝OB＝2，则可得出答案；（2）作BF平分∠ABC交AD于F点，证明△BCE≌△ABF（ASA），由全等三角形的性质得出CE＝BF，证明△CED≌△BFD（SAS），由全等三角形的性质得出∠CDE＝∠ADB；（3）在ON上取一点H，使NH＝BO，连接HM并延长交AB的延长线于G，证明△ABO≌△MHN（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAO＝∠NMH，AB＝HM，证明△ABM≌△MHA（SAS），由全等三角形的性质得出BM＝HA，则可得出结论．【解答】（1）解：过C作CR⊥y轴于R，如图1所示：则∠BRC＝90°，∵A（5，0），B（0，2），∴OA＝5，OB＝2，∵∠AOB＝∠ABC＝∠BRC＝90°，∴∠ABO+∠CBR＝90°，∠CBR+∠BCR＝90°，∴∠ABO＝∠BCR，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BRC（AAS），∴BR＝AO＝5，CR＝OB＝2，∴OR＝BR﹣OB＝3，∴C（﹣2，﹣3）；（2）证明：作BF平分∠ABC交AD于F点，∵AB＝BC，∠CBA＝90°，∴∠C＝∠BAC＝∠DBF＝∠ABF＝45°，∵∠CBE+∠ABO＝∠BAF+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，在△BCE和△ABF中，，∴△BCE≌△ABF（ASA），∴CE＝BF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（SAS），∴∠CDE＝∠ADB；（3）解：AN＝BM+OB．证明：在ON上取一点H，使NH＝BO，连接HM并延长交AB的延长线于G，如图3所示：∵A（a，0），∴AO＝a，∵MN⊥x轴于G，M（m，﹣a），∴ON＝﹣m，MN＝a，∴AO＝MN，∵∠AOB＝∠HNM＝90°，∴△ABO≌△MHN（SAS），∴∠BAO＝∠NMH，AB＝HM，∵∠AHG＝∠MHN，∴∠ANM＝∠AGM＝90°，∵∠ABC＝90°，BC＝AB，∴∠BAC＝45°，∴△AGM是等腰直角三角形，∴∠BAM＝∠GMA＝45°，又∵AB＝HM，AM＝MA，∴△ABM≌△MHA（SAS），∴BM＝HA，∵AN＝AH+NH，∴AN＝BM+OB．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．