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高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 6 双曲线课件PPT
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这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 6 双曲线课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，内容索引，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练，绝对值，两焦点间，F1F2＝2c，x≤－a，x≥a等内容，欢迎下载使用。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何 性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于常数( |F1F2|)的点的轨迹.(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|).(3)焦点：两个定点F1，F2.(4)焦距： 的距离，表示为|F1F2|.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.已知双曲线方程为 ＝1(a>0，b>0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________.
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
题组三 易错自纠5.(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程 ＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是A.若C为椭圆，则13或t<1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 双曲线的定义及应用
且4<|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
∴|PF1|·|PF2|＝8，
在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“ ＝0”，则△F1PF2的面积为______.
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学模拟)过双曲线x2－ ＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.
解析 由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
题型二 双曲线的标准方程
又2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
(0,6)，(0，－6)
解析 ∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c.∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，
化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，即c2－a2＝b2＝1，
求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程.(2)待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 ＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线和离心率
解析 ∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
命题点2 双曲线的几何性质的综合应用
解析 当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，
当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法①求出a，b，c直接求离心率，写渐近线方程.②列出a，b，c的各次方程(或不等式)，然后解方程或不等式.(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系.
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.
KESHIJINGLIAN
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2等于
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
解析 设左焦点为F′，|AF|＝m，连接AF′，CF′，BF′，则|FC|＝2m，|AF′|＝2a＋m，|CF′|＝2a＋2m，|FF′|＝2c.因为BF⊥AC，且AB经过原点O，所以四边形FAF′B为矩形.在Rt△AF′C中，|AF′|2＋|AC|2＝|F′C|2，代入得(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，
所以在Rt△AF′F中，|AF′|2＋|AF|2＝|F′F|2，
7.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n>0，则C是圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝D.若m＝0，n>0，则C是两条直线
8.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则A.双曲线C的渐近线方程为y＝±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C.点P的横坐标为±1D.△PF1F2的面积为
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
9.(2020·北京)已知双曲线C： ＝1，则C的右焦点的坐标为______；C的焦点到其渐近线的距离是________.
解得c＝3，焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3,0).
10.(2021·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C： ＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________.
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
解析 设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
11.如图，F1和F2分别是双曲线 ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，
所以在△POF1中，由余弦定理可得
解析 设c为半焦距，则F(c,0)，又B(0，b)，所以BF：bx＋cy－bc＝0，以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
15.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则A.对任意的a，b，e1>e2B.当a>b时，e1>e2；当ab时，e1e2
由于m>0，a>0，b>0，
所以当a>b时，e1e2.
解析 如图，令E为双曲线的左焦点，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，∴c＝3，∴左焦点E(－3,0)，右焦点F(3,0)，
∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小.由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，∴|PF|＝|PE|＋2，
又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何 性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于常数( |F1F2|)的点的轨迹.(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|).(3)焦点：两个定点F1，F2.(4)焦距： 的距离，表示为|F1F2|.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.已知双曲线方程为 ＝1(a>0，b>0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________.
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
题组三 易错自纠5.(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程 ＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是A.若C为椭圆，则1
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 双曲线的定义及应用
且4<|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
∴|PF1|·|PF2|＝8，
在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“ ＝0”，则△F1PF2的面积为______.
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学模拟)过双曲线x2－ ＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.
解析 由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
题型二 双曲线的标准方程
又2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
(0,6)，(0，－6)
解析 ∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c.∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，
化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，即c2－a2＝b2＝1，
求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程.(2)待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 ＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线和离心率
解析 ∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
命题点2 双曲线的几何性质的综合应用
解析 当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，
当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法①求出a，b，c直接求离心率，写渐近线方程.②列出a，b，c的各次方程(或不等式)，然后解方程或不等式.(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系.
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.
KESHIJINGLIAN
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2等于
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
解析 设左焦点为F′，|AF|＝m，连接AF′，CF′，BF′，则|FC|＝2m，|AF′|＝2a＋m，|CF′|＝2a＋2m，|FF′|＝2c.因为BF⊥AC，且AB经过原点O，所以四边形FAF′B为矩形.在Rt△AF′C中，|AF′|2＋|AC|2＝|F′C|2，代入得(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，
所以在Rt△AF′F中，|AF′|2＋|AF|2＝|F′F|2，
7.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n>0，则C是圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝D.若m＝0，n>0，则C是两条直线
8.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则A.双曲线C的渐近线方程为y＝±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C.点P的横坐标为±1D.△PF1F2的面积为
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
9.(2020·北京)已知双曲线C： ＝1，则C的右焦点的坐标为______；C的焦点到其渐近线的距离是________.
解得c＝3，焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3,0).
10.(2021·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C： ＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________.
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
解析 设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
11.如图，F1和F2分别是双曲线 ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，
所以在△POF1中，由余弦定理可得
解析 设c为半焦距，则F(c,0)，又B(0，b)，所以BF：bx＋cy－bc＝0，以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
15.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则A.对任意的a，b，e1>e2B.当a>b时，e1>e2；当a
由于m>0，a>0，b>0，
所以当a>b时，e1
解析 如图，令E为双曲线的左焦点，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，∴c＝3，∴左焦点E(－3,0)，右焦点F(3,0)，
∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小.由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，∴|PF|＝|PE|＋2，
又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，
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