2023重庆市南开中学高二下学期开学考试数学试题含解析

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重庆南开中学高2024级高二（下）入学考试数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）1. 下列求导运算正确的是（    ）A.  B. C.  D. 2. 已知等差数列满足，若为的前n项和，则（    ）A. 45 B. 54 C. 63 D. 903. 已知椭圆C：的焦点在y轴上，且焦距为2，则（    ）A 3 B. 4 C. 5 D. 74. 已知等比数列的前n项和满足，，则（    ）A. 130 B. 160 C. 390 D. 4005. 若函数在定义域内一个子区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 6. 过点作曲线的切线，所得切线斜率为（    ）A. －3 B. 0或3 C. －3或24 D. 07. 已知，，，则它们的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（    ）A. 2 B.  C. 3 D. 4二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 已知函数，下列说法正确的是（    ）A. 在单调递增 B. 在处取得极小值C. 在恒成立 D. 在处的切线斜率为10. 已知双曲线，点、是左、右顶点，则（    ）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的渐近线方程为C. 过作与有且仅有一个公共点的直线，这样的直线恰有条D. 过的右焦点的直线与交于、，则可以使得的直线恰有条11. 若函数的定义域为，其导函数为，满足恒成立，则下列结论一定正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 12. 已知数列满足，，则下列说法正确的有（    ）A. 数列递增数列 B. C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相对应位置上）13. 已知函数，则______.14. 已知数列的前n项和满足，且，则______.15. 过点的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线交于点Q，若，则______.16. 已知关于的不等式恰有两个正整数解，则实数的取值范围是______.四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列的前项和为，其中：，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等腰直角三角形，平面平面ABCD，Q为AD的中点，.（1）求证：平面PAB；（2）点M在线段PC上，满足，求二面角的余弦值.19. 已知函数.（1）若为的一个极值点，求实数a的值并此函数的极值；（2）若恰有两个零点，求实数a的取值范围.20. 已知数列满足，，且.（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.21. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2，抛物线：经过点.斜率为k的直线l与椭圆交于不在坐标轴上的P、Q两点，过原点O的直线OP、OQ与抛物线的另一个公共点分别为A、B，直线AB与x轴交于点.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）若，求t的值；（3）是否存在确定实数k使得t为定值？若存在，求出满足条件的k值；若不存在，说明理由．22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且存在整数使得恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，，，，，）