高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题4 [70分] 解答题标准练2(1)

[70分] 解答题标准练(二)
1.(2019·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积.
解　(1)由正弦定理，得＝，
所以＝，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
cos Asin B－2cos Csin B＝2sin Ccos B－sin Acos B，
cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos B＋2cos Csin B.
化简得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，
因此＝2.
(2)由＝2，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝，b＝2，
得4＝a2＋4a2－4a2×，
解得a＝1，从而c＝2.
又因为cos B＝，且00)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为，过点E的动直线l被椭圆C所截得的线段MN长度的最小值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)B是椭圆C上异于顶点的一点，且直线OB⊥l，D是线段OB延长线上一点，且|DB|＝|MN|，⊙D的半径为|DB|，OP，OQ是⊙D的两条切线，切点分别为P，Q，求∠POQ的最大值，并求出取得最大值时直线l的斜率.
解　(1)由已知，可得(c＋a)c＝.
又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，解得a＝2c，
设椭圆C的方程为＋＝1，
当直线l的斜率不存在时，线段MN的长为2c；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋c，
由得(4k2＋3)x2＋8kcx－8c2＝0，
Δ＝(8kc)2＋32c2(4k2＋3)>0，
从而|MN|＝·
＝
＝2c·
＝2c·3，∈，
因此＝
＝ ＝≥1，
当且仅当＝2，即u＝时等号成立，
此时k＝±，所以sin≤，
因此≤，所以∠POQ的最大值为.
综上所述，∠POQ的最大值为，
取得最大值时直线l的斜率k＝±.
5.(2019·烟台模拟)已知函数f(x)＝ex－2ax＋3a2e－x(a∈R)，其中e＝2.718 28…为自然对数的底数.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x∈(0，＋∞)时，ex(x－a)＋3a2e－x－x2－a2＋10>f(x)恒成立，求a的取值范围.
解　(1)由题意可知，f′(x)＝ex－2a－3a2e－x
＝＝，
当a＝0时，f′(x)＝ex>0，此时f(x)在R上单调递增；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln(3a)，
当x∈(－∞，ln(3a))时，f′(x)0，f(x)单调递增；
当a0时，x∈(－∞，ln(3a))时，f(x)单调递减，
x∈(ln(3a)，＋∞)时，f(x)单调递增；
当af(x)，
可得ex(x－a－1)－x2＋2ax－a2＋10>0，
令g(x)＝ex(x－a－1)－x2＋2ax－a2＋10，
只需在x∈(0，＋∞)时，使g(x)min>0即可，
g′(x)＝ex(x－a－1)＋ex－2x＋2a＝(ex－2)(x－a)，
①当a≤0时，x－a>0，当00，
解得ln 2－4