高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题3 解答题突破练3 立体几何与空间向量(1)

(三)立体几何与空间向量1.(2019·哈尔滨第三中学模拟)如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.(1)若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.(1)证明　∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，连接AC，则△ACD为等边三角形，又∵M为CD中点，∴AM⊥CD，由CD∥AB，得AM⊥AB.∵AA1⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，∴AM⊥AA1，又∵AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面AA1B1B，∴AM⊥平面AA1B1B.(2)∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，∴DM＝1，AM＝，∠AMD＝∠BAM＝90°，又∵AA1⊥底面ABCD，分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，，0)，D1，∴＝，＝(－3，，0)，＝(2,0，－2)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有即得y＝x＝z，令x＝1，则n＝(1，，1)，∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.2.如图，已知△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，且DE∥BC，BC⊥CD，点G为△ABC的重心，N为AB的中点，AG⊥平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点.(1)求证：GM∥平面DFN；(2)若二面角M－BC－D的余弦值为，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值.(1)证明　延长AG交BC于点O，连接ON，OF.因为点G为△ABC的重心，所以＝，且O为BC的中点.又由题意知，＝，所以＝＝，所以GM∥OF.因为点N为AB的中点，所以NO∥AC.又AC∥DF，所以NO∥DF，所以O，D，F，N四点共面，又OF⊂平面DFN，GM⊄平面DFN，所以GM∥平面DFN.(2)解　连接OE.由题意知，AG⊥平面BCDE，因为AG⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCDE，又BC⊥CD，平面ABC∩平面BCDE＝BC，CD⊂平面BCDE，所以CD⊥平面ABC.又四边形BCDE为直角梯形，BC＝2，DE＝1，所以OE∥CD，所以OE⊥平面ABC.因为BC∥DE，DE⊄平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，又因为DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF，又△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，故以O为坐标原点，OC，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设CD＝m(m>0)，则C(1,0,0)，D(1，m，0)，A(0,0，)，F，B(－1,0,0)，N，因为＝，所以M，＝(2,0,0)，＝设平面MBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则得令z＝－m，得n＝(0，，－m).又平面BCD的法向量为v＝(0,0,1).由题意得|cos〈v，n〉|＝＝＝，解得m＝，又＝，＝(0，m，0)，所以|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线MN与CD所成角的余弦值为.3.(2019·榆林模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD∥BC，AB＝BC＝AP＝AD，∠ADP＝30°，∠BAD＝90°，E是PD的中点.(1)证明：PD⊥PB；(2)设AD＝2，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角M－AB－P的余弦值.(1)证明　∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD ，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，在△PAD中，∵AP＝AD，∠ADP＝30°，∴由正弦定理可得，sin∠ADP＝sin∠APD，∴∠APD＝90°，即PD⊥AP，又AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB，∴PD⊥PB.(2)解　以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则B(0,1,1)，C，E，设M ，则＝， ＝，∴cos〈，〉＝＝＝，得a＝，∴＝，而＝(0,0,1)，设平面ABM的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则n＝(2，，0)，取平面PAB的法向量m＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，由图易知二面角M－AB－P为锐二面角，故二面角M－AB－P的余弦值为.4.(2019·怀化模拟)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－S的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SC∶SE的值；若不存在，试说明理由.(1)证明　连接BD交AC于O，连接SO，由题意得，SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，SO，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SD.(2)解　由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz如图所示.设底面边长为a，则高SO＝a.则S，D，C又SD⊥平面PAC，则平面PAC的一个法向量＝，平面SAC的一个法向量＝，则cos 〈，〉＝＝－，又二面角P－AC－S为锐二面角，则二面角P－AC－S为60°.(3)解　在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝.设＝t，t∈[0,1]，则＝＋＝＋t＝，又BE∥平面PAC，所以·＝0，解得t＝.即当SC∶SE＝3∶2时，⊥，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.所以侧棱SC上存在点E，当SC∶CE＝3∶2时，有BE∥平面PAC.5.(2019·吕梁模拟)已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起(如图2)，使平面BED⊥平面AECD.　　(1)证明：BE⊥平面AECD；(2)在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明　连接AC，则AC⊥DE，又平面BDE⊥平面AECD，平面BDE∩平面AECD＝DE，AC⊂平面AECD，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BE.又BE⊥CE，AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面AECD，所以BE⊥平面AECD.(2)解　线段CD上存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为.理由如下：如图，由(1)得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE.所以EA，EB，EC两两垂直，分别以，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系E－xyz如图所示，则E(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2,0)，设F(a,0,2)，0≤a≤2，所以＝(a－2,0,2)，＝(a，－2,2)，设平面FAB的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝2，得n＝(2,2,2－a).取平面EBC的法向量为m＝(1,0,0).所以cos 〈m，n〉＝＝＝，所以a＝1.所以线段CD上存在点F，且F为CD中点时，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为.