高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题6 规范答题示例6(1)

典例6　(12分)(2019·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：(1)f′(x)在区间上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点. 审题路线图1设gx＝f′x→对gx求导→得出gx的单调性，得证2对x进行讨论→分四个区间－1，0]，，，π，＋∞，根据用导数判断函数单调性来确定零点个数规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板证明　(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋.……………………………………………………………………………………2分当x∈时，g′(x)单调递减，…………………………………………3分而g′(0)>0，g′<0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0.所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在上单调递减，……………………4分故g(x)在上存在唯一极大值点，即f′(x)在上存在唯一极大值点. ……………………………………5分(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞). …………………………………………………6分①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增.而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减.又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零点；………………………7分②当x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在上单调递减，而f′(0)＝0，f′<0，所以存在β∈，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在上单调递减. …………………………8分又f(0)＝0，f ＝1－ln>0，所以当x∈时，f(x)>0.从而，f(x)在上没有零点；……………………………………………9分③当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减.而f>0，f(π)<0，所以f(x)在上有唯一零点；……………………………………………10分④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点. ……………………………11分综上，f(x)有且仅有2个零点. ………………………………………………12分第一步求导数：对复杂函数性质的讨论，可通过二次求导.第二步看性质：通过导函数的符号确定函数的单调性，结合草图分析函数的零点、极值等性质.第三步找联系：寻找要求结论和函数性质的联系，通过所得函数性质解决所求问题.第四步规范答：审视思路，规划并书写规范步骤. 评分细则　第(1)问：对函数f(x)两次求导给2分；判断出新函数g′(x)的单调性给1分；确定g(x)存在唯一极大值点给1分；结论给1分.第(2)问：求出f(x)定义域给1分；确定区间(－1,0]上的零点个数给1分；确定区间上的零点个数给2分，确定区间上的零点个数给1分；确定区间(π，＋∞)上的零点个数给1分；结论给1分.跟踪演练6　(2019·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x－.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明：曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.(1)解　f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞).因为f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增.因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，所以f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点x1，即f(x1)＝0.又0<<1，f ＝－ln x1＋＝－f(x1)＝0，故f(x)在(0,1)上有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点.(2)证明　因为＝故点B在曲线y＝ex上.由题设知f(x0)＝0，即ln x0＝，连接AB，则直线AB的斜率k＝＝＝.曲线y＝ex在点B处切线的斜率是，曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是，所以曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.