高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题3 规范答题示例3(1)

典例3　(12分)(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值.审题路线图1∠BAP＝∠CDP＝90°AB⊥平面PAD平面PAB⊥平面PAD2建立空间直角坐标系→写出A，B，C，P的坐标→计算，，，→分别计算平面PCB与平面PAB的法向量→计算两个法向量的夹角的余弦值→求得二面角的余弦值.规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)证明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，又PD∩PA＝P，PD，PA⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD. ………………………………………………2分又AB⊂平面PAB，…………………………………………………3分所以平面PAB⊥平面PAD.…………………………………………4分(2)解　在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F，由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系F－xyz. …………………6分由(1)及已知可得A，P，B，C.所以＝，＝(，0,0)，＝，＝(0,1,0). ……………………………………………………………7分设n＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，则即可取n＝(0，－1，－).……………………………………………8分设m＝(x′，y′，z′)是平面PAB的法向量，则即可取m＝(1,0,1). …9分则cos〈n，m〉＝＝－，…………………………………11分由图知二面角A－PB－C为钝二面角，所以二面角A－PB－C的余弦值为－.…………………………12分第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的两条直线，寻求与它们有垂直关系的直线，由线面垂直得出面面垂直.第二步写坐标：选择恰当的坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点坐标.第三步求向量：求两个平面的法向量.第四步求夹角：运用夹角的余弦公式代入数值，计算向量的夹角.第五步得结论：得到要求两个平面所成的角. 评分细则　第(1)问：证得AB⊥平面PAD得2分，直接写出不得分；写出AB⊂平面PAB得1分，此步没有扣1分；写出结论平面PAB⊥平面PAD得1分.第(2)问：正确建立空间直角坐标系得2分；写出相应的坐标及向量得1分(酌情)；正确求出平面PCB的法向量得1分；正确求出平面PAB的法向量得1分；写出公式cos〈n，m〉＝得1分，正确求出值再得1分；写出正确结果得1分.跟踪演练3　(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明　由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解　如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，＝，＝.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.