高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第5章 §5 3　平面向量的数量积 试卷

§5.3　平面向量的数量积考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.微思考 1．两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？提示　不一定．当夹角为0°(或180°)时，数量积也大于0(或小于0)．2．平面向量数量积运算常用结论有哪些？提示　(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.a与b同向时，a·b＝|a||b|.a与b反向时，a·b＝－|a||b|.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(　×　)(2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量．(　√　)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　×　)题组二　教材改编2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6eq \r(3)，则a与b的夹角θ等于(　　)A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)答案　B解析　cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6\r(3),2×6)＝－eq \f(\r(3),2)，又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(5π,6).3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角的余弦值为sin eq \f(17π,3)，则b·(2a－b)等于(　　)A．2 B．－1 C．－6 D．－18答案　D解析　由题意知cos〈a，b〉＝sin eq \f(17π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－3，所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.4．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案　－2解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.题组三　易错自纠5．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \o(BA,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))的值为________．答案　－eq \f(3,2)解析　在△ABC中，由余弦定理得cos A＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2×AC×AB)＝eq \f(22＋32－\r(10)2,2×2×3)＝eq \f(1,4).所以eq \o(BA,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝|eq \o(BA,\s\up6(→))||eq \o(AC,\s\up6(→))|cos(π－A)＝－|eq \o(BA,\s\up6(→))||eq \o(AC,\s\up6(→))|·cos A＝－3×2×eq \f(1,4)＝－eq \f(3,2).题型一 平面向量数量积的简单应用命题点1　平面向量的模例1 (2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.答案　eq \r(3)解析　将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.∴|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1－－1＋1)＝eq \r(3).命题点2　平面向量的夹角例2 (2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于(　　)A．－eq \f(31,35) B．－eq \f(19,35) C.eq \f(17,35) D.eq \f(19,35)答案　D解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,|a||a＋b|)＝eq \f(25－6,5×7)＝eq \f(19,35).命题点3　平面向量的垂直例3 (2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.答案　eq \f(\r(2),2)解析　由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.因为a，b为单位向量，且夹角为45°，所以k×12－1×1×eq \f(\r(2),2)＝0，解得k＝eq \f(\r(2),2).思维升华 (1)求解平面向量模的方法①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2).②利用|a|＝eq \r(a2).(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练1 (1)(2020·唐山模拟)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝eq \r(3)，则|e1－e2|＝________.答案　1解析　方法一　由|e1＋e2|＝eq \r(3)，两边平方，得eeq \o\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq \o\al(2,2)＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝eeq \o\al(2,1)－2e1·e2＋eeq \o\al(2,2)＝1，所以|e1－e2|＝1.方法二　如图，设eq \o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \o(AD,\s\up6(→))＝e2，又e1，e2是单位向量，所以|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝|eq \o(AD,\s\up6(→))|＝1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以eq \o(AC,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \o(DB,\s\up6(→))＝e1－e2，因为| e1＋e2|＝eq \r(3)，即|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|eq \o(DB,\s\up6(→))|＝1，即| e1－e2|＝1.(2)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)答案　B解析　设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝eq \f(1,2)，∵α∈[0，π]，∴α＝eq \f(π,3)，故选B.(3)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq \o(AP,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，且eq \o(AP,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为(　　)A.eq \f(22,15) B.eq \f(10,3) C．6 D.eq \f(12,7)答案　A解析　因为eq \o(AP,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，且eq \o(AP,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，所以有eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝(λeq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))·(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))－λeq \o(AB,\s\up6(→))2＋eq \o(AC,\s\up6(→))2－eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝(λ－1)eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))－λeq \o(AB,\s\up6(→))2＋eq \o(AC,\s\up6(→))2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝eq \f(22,15).题型二 平面向量数量积的综合运算例4 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是(　　)A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)答案　A解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3))．设P(x，y)，则eq \o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，且－1