高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第5章 §5 2　平面向量基本定理及坐标表示 试卷

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示　不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示　不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　×　)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).(　×　)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)题组二　教材改编2．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(　　)A.eq \o(AB,\s\up6(→))＝3eq \o(AC,\s\up6(→)) B.eq \o(DA,\s\up6(→))＝－2eq \o(CD,\s\up6(→))C.eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝0 D.eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))答案　ABC3．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案　(1,5)解析　设D(x，y)，则由eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))4.如图，eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))不共线，且eq \o(AP,\s\up6(→))＝teq \o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，用eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))表示eq \o(OP,\s\up6(→))＝__________________.答案　(1－t)eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(OB,\s\up6(→))解析　∵eq \o(AP,\s\up6(→))＝teq \o(AB,\s\up6(→))，∴eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋t(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(OB,\s\up6(→))－teq \o(OA,\s\up6(→))＝(1－t)eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(OB,\s\up6(→)).题组三　易错自纠5．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可作为这一个平行四边形所在平面的一个基底的是(　　)A.eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AB,\s\up6(→)) B.eq \o(DA,\s\up6(→))，eq \o(BC,\s\up6(→))C.eq \o(CA,\s\up6(→))，eq \o(DC,\s\up6(→)) D.eq \o(OD,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))答案　AC解析　平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A，eq \o(AD,\s\up6(→))与eq \o(AB,\s\up6(→))不共线，可作为基底；对于B，eq \o(DA,\s\up6(→))与eq \o(BC,\s\up6(→))为共线向量，不可作为基底；对于C，eq \o(CA,\s\up6(→))与eq \o(DC,\s\up6(→))是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，eq \o(OD,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．6．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)A．(4,8) B．(4，－8)C．(－4，－8) D．(－4,8)答案　BD解析　设b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝4\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))2)，,y＋2x＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝8.))题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \o(BD,\s\up6(→))＝2eq \o(DC,\s\up6(→))，eq \o(CE,\s\up6(→))＝3eq \o(EA,\s\up6(→))，若eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \o(DE,\s\up6(→))等于(　　)A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)bC．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b答案　C解析　eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(CA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))－eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,12)eq \o(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b.(2)(2021·郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \o(CG,\s\up6(→))＝λeq \o(CD,\s\up6(→))＋μeq \o(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________.答案　eq \f(1,2)解析　由题图可设eq \o(CG,\s\up6(→))＝xeq \o(CE,\s\up6(→))(0