(新高考)高考数学一轮复习讲义第8章§8.8抛物线(含详解)

§8.8　抛物线考试要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－cos α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cos α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(　×　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切．(　×　)教材改编题1．抛物线y＝2x2的准线方程为(　　)A．y＝－eq \f(1,8) B．y＝－eq \f(1,4) C．y＝－eq \f(1,2) D．y＝－1答案　A解析　由y＝2x2，得x2＝eq \f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq \f(1,8).2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A．9 B．8 C．7 D．6答案　B解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．答案　y2＝±4eq \r(2)x解析　由已知可知双曲线的焦点为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝eq \r(2)，所以p＝2eq \r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.题型一　抛物线的定义和标准方程命题点1　定义及应用例1　(1)(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于(　　)A．2 B．3 C．6 D．9答案　C解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq \f(p,2)＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6.(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案　42或22解析　当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，①　　　　　　　　②则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq \f(p,2)＝41，解得p＝42.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq \r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.思维升华　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．命题点2　求标准方程例2　(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　)A．x＝－4 B．x＝－3C．x＝－2 D．x＝－1答案　A解析　直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　　)A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案　B解析　根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos 60°＝eq \f(1,2)|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.教师备选1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为(　　)A．3 B.eq \f(3,2) C．5 D.eq \f(5,2)答案　B解析　由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(5,2)，所以线段MN的中点到y轴的距离为eq \f(5,2)－1＝eq \f(3,2).2．(2022·济南模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)．若直线AB的斜率为eq \f(\r(3),3)，点A的纵坐标为eq \f(3,2)，则p的值为(　　)A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2答案　C解析　由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点在y轴上，准线方程为y＝－eq \f(p,2)，设A(xA，yA)，则|AF|＝yA＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝eq \f(\r(3),3)，因为α∈[0，π)，所以α＝eq \f(π,6)，所以|AF|＝eq \f(yA－\f(p,2),sin α)＝eq \f(\f(3,2)－\f(p,2),sin α)＝eq \f(3－p,2sin α)＝eq \f(3－p,2×\f(1,2))＝3－p，所以3－p＝eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)，解得p＝1.思维升华　求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练1　(1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP答案　B解析　连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3eq \r(3)，则抛物线的方程为 (　　)A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝6x答案　B解析　如图，|AB|＝3，|BC|＝3eq \r(3)，则|AC|＝eq \r(32＋3\r(3)2)＝6，设直线l与x轴交于点H，由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知点F为AC的中点，所以|FH|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(3,2)，又|FH|＝p，所以p＝eq \f(3,2)，所以抛物线的方程为y2＝3x.题型二　抛物线的几何性质例3　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p等于(　　)A．1 B．2 C．2eq \r(2) D．4答案　B解析　抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq \r(2)，解得p＝2(p＝－6舍去)．(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)A．p＝4 B.eq \o(DF,\s\up6(→))＝eq \o(FA,\s\up6(→))C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4答案　ABC解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则eq \o(DF,\s\up6(→))＝eq \o(FA,\s\up6(→))，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D错误．教师备选1．抛物线y2＝2px(p>0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称，线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M，若直线MB经过点N(4,0)，则抛物线的焦点坐标是(　　)A．(4,0) B．(2,0)C．(1,0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))答案　C解析　设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，则点A(－x1，－y1)，可得－x1＝－eq \f(p,2)，则x1＝eq \f(p,2)，设直线MB的方程为x＝my＋4，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,y2＝2px，))可得y2－2mpy－8p＝0，所以y1y2＝－8p，由题意可知，eq \o(OB,\s\up6(→))·eq \o(OM,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＋y1y2＝eq \f(64p2,4p2)－8p＝16－8p＝0，解得p＝2.因此，抛物线的焦点为(1,0)．2．(多选)(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则(　　)A．y1y2＝－1B．|AB|＝eq \f(25,16)C．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝－eq \f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线答案　BCD解析　设抛物线的焦点为F，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))，且l1∥x轴，故A(1,1)，故直线AF：y＝eq \f(1－0,1－\f(1,4))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＝eq \f(4,3)x－eq \f(1,3).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x))可得y2－eq \f(3,4)y－eq \f(1,4)＝0，故y1y2＝－eq \f(1,4)，故A错误；又y1＝1，故y2＝－eq \f(1,4)，故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，故|AB|＝1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,2)＝eq \f(25,16)，故B正确；直线AO：y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＝－\f(1,4)))可得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y2，所以C，B，Q三点共线，故D正确；因为|AP|＝eq \f(41,16)－1＝eq \f(25,16)＝|AB|，故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确．思维升华　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练2　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案　x＝－eq \f(3,2)解析　方法一　(解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).方法二　(应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).(2)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝______，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.答案　2　1解析　由eq \f(p,2)＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1.题型三　直线与抛物线例4　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq \o(AP,\s\up6(→))＝3eq \o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解　设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq \f(5,2).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq \f(12t－1,9).从而－eq \f(12t－1,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).所以l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).(2)由eq \o(AP,\s\up6(→))＝3eq \o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，即A(3,3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1)).故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).教师备选如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x2＝eq \f(1,2)y得p＝eq \f(1,4).2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为(　　)A．2 B．3 C．4 D．6答案　B解析　因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为d＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(6,2)＝3.3．(2022·桂林模拟)已知抛物线y＝eq \f(1,2)x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝eq \r(2)|NF|，则|MF|等于(　　)A．2 B．3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)答案　C解析　如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|MN|＝eq \r(2)|NH|，则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq \r(2)|FK|.而|FK|＝1，所以|MF|＝eq \r(2).4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(　　)A．2eq \r(6) m B．4eq \r(6) m C．4eq \r(2) m D．12 m答案　B解析　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝2eq \r(6)，x2＝－2eq \r(6)，所以此时水面宽度d＝2x1＝4eq \r(6).5．(多选)(2022·广州模拟)已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则(　　)A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2eq \r(2)D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2答案　AC解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1,0)，则直线y＝x－1过焦点．联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))消去y得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－4，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8 ，故A正确；由eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；原点到直线y＝x－1的距离为d＝eq \f(|1|,\r(2))＝eq \f(1,\r(2)) ，所以△AOB的面积为S＝eq \f(1,2)×d×|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,\r(2))×8＝2eq \r(2) ，故C正确；因为线段AB的中点到直线x＝0的距离为eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(6,2)＝3，故D错误．6．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)A．p＝4B．抛物线方程为y2＝16xC．直线l的方程为y＝2x－4D．|AB|＝10答案　ACD解析　由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；焦点F(2,0)，则yeq \o\al(2,1)＝8x1，yeq \o\al(2,2)＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2)＝8x1－8x2，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2)＝eq \f(8,4)＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2x－4，))可得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．7．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.答案　5　4eq \r(5)解析　因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，因为|MF|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq \r(5)，所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).8．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.答案　eq \f(16,3)解析　如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq \f(16,3).9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．解　(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，∴y0＝eq \f(－22,4)＝1.又F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，eq \o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，eq \o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．∵MA⊥MB，∴eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1.10．(2022·沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M.(1)求p的值；(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．解　(1)由题意知，抛物线焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝－eq \f(p,2)，焦点到准线的距离为2，即p＝2.(2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，即y＝eq \f(1,4)x2，所以y′＝eq \f(1,2)x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1：y－eq \f(x\o\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x－x1)，l2：y－eq \f(x\o\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x－x2)，由于l1⊥l2，所以eq \f(x1,2)·eq \f(x2,2)＝－1，即x1x2＝－4.设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＝4y，))所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\o\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\o\al(2,2),4)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2k，,y＝－1，))即M(2k，－1)．M点到直线l的距离d＝eq \f(|k·2k＋1＋1|,\r(1＋k2))＝eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))，|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝4(1＋k2)，所以S＝eq \f(1,2)×4(1＋k2)×eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2)) SKIPIF 1 < 0 ,当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.11．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \o(FA,\s\up6(→))|＋|eq \o(FB,\s\up6(→))|＋|eq \o(FC,\s\up6(→))|的值为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4答案　C解析　由题意可知，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq \f(xA＋xB＋xC,3)＝eq \f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq \f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq \o(FA,\s\up6(→))|＋|eq \o(FB,\s\up6(→))|＋|eq \o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.12．(多选)(2022·潍坊模拟)已知抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)A．点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))B．若直线MN过点F，则x1x2＝－eq \f(1,16)C．若eq \o(MF,\s\up6(→))＝λeq \o(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为eq \f(1,2)D．若|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为eq \f(5,8)答案　BCD解析　易知点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－eq \f(1,16)，选项B正确；若eq \o(MF,\s\up6(→))＝λeq \o(NF,\s\up6(→))，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即eq \f(1,2)，选项C正确；抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，准线方程为y＝－eq \f(1,8)，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，所以线段|PP′|＝eq \f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq \f(3,4)，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)＝eq \f(5,8)，选项D正确．13．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，则下列结论正确的是(　　)A．点P到抛物线焦点的距离为eq \f(3,2)B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq \f(5,32)C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值答案　BCD解析　因为抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，所以p＝eq \f(1,2)，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).对于A，|PF|＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，错误；对于B，kPF＝eq \f(4,3)，所以lPF：y＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，所以y1＋y2＝eq \f(3,4)，y1y2＝－eq \f(1,4)，所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \f(5,32)，正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，即4k2－4k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2)，所以切线方程为x－2y＋1＝0，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，所以yM＋1＝eq \f(1,k)，即yM＝eq \f(1,k)－1，则xM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2，所以点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2，\f(1,k)－1))，同理N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1))2，－\f(1,k)－1))，所以kMN＝eq \f(\f(1,k)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1))2)＝eq \f(\f(2,k),\f(－4,k))＝－eq \f(1,2)，正确．14．已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴，y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且eq \o(AP,\s\up6(→))＝λeq \o(AM,\s\up6(→))＋μeq \o(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为________．答案　eq \f(7,4)解析　由题意得M(2,0)，N(0，－4)，设P(x，y)，由eq \o(AP,\s\up6(→))＝λeq \o(AM,\s\up6(→))＋μeq \o(AN,\s\up6(→))得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)．所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝eq \f(y＋4,4)－eq \f(x－2,2)＝eq \f(x2,4)－eq \f(x,2)＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)≥eq \f(7,4)，故λ＋μ的最小值为eq \f(7,4).15．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是(　　)A.eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4)p2B．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线AB的斜率为eq \r(3)C．若抛物线上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2＝4xD．若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为eq \f(1,2)答案　ACD解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.对于A，eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\o\al(2,1),2p)·eq \f(y\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2，故A正确；对于B，根据抛物线的定义可知|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，故|AF|·|BF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝(my1＋p)(my2＋p)＝m2y1y2＋pm(y1＋y2)＋p2＝－m2p2＋2p2m2＋p2＝p2(m2＋1)＝4p2，所以m2＋1＝4，解得m＝±eq \r(3)，所以直线l的斜率k＝eq \f(1,m)＝±eq \f(\r(3),3)，故B不正确；对于C，由题意可知2＋eq \f(p,2)＝3，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，故C正确；对于D，由题意可知p＝2，所以y1＋y2＝4m.易得sin∠PMN＝eq \f(d,r)，其中d是点P到y轴的距离，r为以AB为直径的圆的半径，且d＝eq \f(x1＋x2,2)，r＝|PM|＝eq \f(|AB|,2)＝eq \f(x1＋x2＋2,2).又x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，且y1＋y2＝4m，所以d＝2m2＋1，r＝2m2＋2，所以sin∠PMN＝eq \f(d,r)＝eq \f(2m2＋1,2m2＋2)＝1－eq \f(1,2m2＋1)，当m＝0时，sin∠PMN取得最小值eq \f(1,2)，故D正确．16．已知曲线C：y＝eq \f(x2,2)，D为直线y＝－eq \f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．(1)证明　设Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq \o\al(2,1)＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq \f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)解　由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq \f(1,2).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)，))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝eq \r(1＋t2)|x1－x2|＝eq \r(1＋t2)×eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝eq \r(t2＋1)，d2＝eq \f(2,\r(t2＋1)).因此，四边形ADBE的面积S＝eq \f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq \r(t2＋1).设M为线段AB的中点，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，t2＋\f(1,2))).因为eq \o(EM,\s\up6(→))⊥eq \o(AB,\s\up6(→))，而eq \o(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq \o(AB,\s\up6(→))与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4eq \r(2).因此，四边形ADBE的面积为3或4eq \r(2).标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1