高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国3卷）（解析版）

这是一份高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国3卷）（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国3卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设,,且,则a的值为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】由解得：,所以,又,,所以,,故选B.2．设,若复数的实部与虚部相等（是虚数单位）,则（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】,若实部与虚部相等,则,解得,故选A3．重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日,某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是（    ）A．35 B．40 C．50 D．70【答案】C【解析】6名学生分成两组,每组不少于两人的分组,一组2人另一组4人,或每组3人,所以不同的分配方案为,故选C.4．已知双曲线的一条渐近线将圆分成面积相等的两部分,则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆的圆心坐标为,双曲线的渐近线方程为,依据题意可知：,所以,,故选B.5．已知直线：（为常数）与圆：相交于不同的,两点,记的面积为,则下列结论正确的是（     ）A．（或）,的图象关于原点对称B．（或）,的图象关于轴对称C．（或）,的图象关于原点对称D．（或）,的图象关于轴对称【答案】D【解析】因为,又,即或,所以为偶函数.故选D.6．已知椭圆()的两焦点分别为、.若椭圆上有一点,使,则的取值范围是（    ）.A．    B．   C．   D．【答案】B【解析】设,,则,,∴,又,即,∴,从而．故选B.7．设,是两个不共线向量,则“与的夹角为锐角”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为,故即,因为,是两个不共线向量,故与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“”的必要条件.若与的夹角为,且,故,所以,故即不垂直.“与的夹角为锐角”是“”的必要不充分条件.故选B.8．若的展开式中有且仅有三个有理项,则正整数的取值为（    ）A． B．或 C．或 D．【答案】B【解析】的通项公式是 设其有理项为第项,则的乘方指数为,依题意为整数,注意到,对照选择项知、、,逐一检验：时,,不满足条件；时,、、,成立；时,、5、8,成立,故选B.9．已知函数.若存在,使得,则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由,可得,令,其中,由于存在,使得,则实数的取值范围即为函数在上的值域.由于函数、在区间上为增函数,所以函数在上为增函数.当时,,又,所以,函数在上的值域为.因此,实数的取值范围是.故选B.10．已知四面体中,二面角的大小为,且,,,则四面体体积的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中,由余弦定理可得因为,所以,所以,当且仅当时等号成立,,因为二面角的大小为,所以点到平面的最大距离为,所以,所以四面体体积的最大值是,故选D11．函数的最大值为（    ）A． B． C． D．3【答案】B【解析】因为所以令则,则令,得或,当时,；时所以当时,取得最大值,此时,所以故选B12．已知函数,、、,且都有,满足的实数有且只有个,给出下述四个结论：①满足题目条件的实数有且只有个；②满足题目条件的实数有且只有个；③在上单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（    ）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】,当时,.设进行替换,作出函数的图象如下图所示：由于函数在上满足的实数有且只有个,即函数在上有且只有个零点,由图象可知,解得,结论④正确；由图象知,在上只有一个最小值点,有一个或两个最大值点,结论①正确,结论②错误；当时,,由知,所以在上递增,则函数在上单调递增,结论③正确．综上,正确的有①③④.故选D．二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 已知,满足约束条件,则的最小值为______．【答案】2【解析】画出可行域如下图所示,由图可知平移基准直线到处时,取得最小值为.14．已知曲线在点处的切线与曲线也相切,则实数______.【答案】或6【解析】,则,,又因为,所以切线方程为,因为直线与抛物线相切,所以方程有两个相等的实数根,,解得或6.15．已知在锐角的面积为,且,其内角,,所对边分别为,,,则边的最小值为_____________.【答案】2【解析】由,得,即,结合正弦定理得,再由余弦定理可得,整理.又由余弦定理可得,代入上式得,又锐角的面积,所以时,所以,设函数,求导可得,由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以.于是,即,当且仅当时,等号成立.16．在三棱锥中,,,,．平面平面,若球是三棱锥的外接球,则球的半径为_________．【答案】4【解析】因为,,,所以,又因为,所以,所以,因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,取中点,连接,所以,,,所以平面,所以,此时,, ,所以,即球的球心球心即为（与重合）,半径为.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知数列满足,,.（1）设,求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为,求证：,.解：（1）,,则,又,所以数列是等比数列；(6分)（2）由（1）得,,,,,,,,当时,,又,综上,,.(12分)18.(12分) 已知抛物线（）的焦点为,抛物线上的点到轴的距离为.（1）求的值；（2）已知点,若直线交抛物线于另一个点,且,求直线的方程.解:（1）根据题意画出几何关系如下图所示, 抛物线上的点到轴的距离为,由抛物线定义可得等于到的距离,所以为抛物线准线方程,,解得.(4分)（2）由（1）知,可设方程为,,,直线交抛物线于另一个点,即直线与抛物线有两个交点,因而存在；所以,化简可得.则,.(6分)又,,由于,∴,代入,化简可得,解得.(11分)所以直线方程为(12分)19.(12分) 在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点．（1）求证：BE⊥DC；（2）求直线PC与平面PDB所成角的正弦值．（1）证明：依题意,以点为原点建立空间直角坐标系如图：可得,(2分),故,所以.(5分)（2）, 设为平面的一个法向量,则 即,不妨令,可得．(9分)设直线PC与平面PDB所成角为 于是有,所以直线与平面所成角的正弦值为.(12分)20.(12分)某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动,规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”,不少于14千步的人为“超健康生活方式者”,其他为“一般健康生活方式者”.某日,学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据,统计出他们的日行步数(单位：千步,且均在内),按步数分组,得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表,结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数服从正态分布,其中,为（1）中求得的平均数标准差的近似值为2,求该校被抽取的300名教职工中日行步数的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体,将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象,规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励,奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元,求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布,则,,.解：（1）依题意得 .(2分)（2）因为,所以,所以走路步数的总人数为.(6分)（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02,奖励金额为100元的概率为0.88,奖励金额为200元的概率为0.1.由题意知X的可能取值为0,100,200,300,400.；；；；.所以X的分布列为X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01.(12分)21.(12分) 已知函数.（1）若是的极值点,求的极大值；（2）若,求实数t的范围,使得恒成立.解：（1）,,由题意可得,,解可得,∴,(2分)所以,当,时 ,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,函数取得极大值；(5分)（2）由得在时恒成立可得,在时恒成立,(7分)令,则,令,所以,令,,(9分)所以当,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,函数取得最小值,又,所以,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,可得,所以.(12分)(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,,曲线的参数方程为(的参数).（1）将曲线的极坐标方程､的参数方程化为普通方程.（2）设,的交点为,求圆心在极轴上,且经过极点和的圆的极坐标方程.解：（1）,, ,即：由可得 ,消去参数,可得即普通方程为.(5分)（2）由,即,设所求圆圆心的直角坐标为 ,其中a >0.则,解得 ,所求圆的半径,所求圆的直角坐标方程为: .即,所求圆的极坐标方程为 . (10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)设函数,.（1）若,求不等式的解集；（2）若函数恰有三个零点,求实数的取值范围.解：（1）若,不等式即,则或或,解得或或,故原不等式的解集为；(10分)（2）由,得,设,,在平面直角坐标系中做出的大致图像,如图所示,结合图像分析,可知当,即时,、的图像有三个不同的交点,故函数恰有三个零点时,实数的取值范围是. (10分)