2022-2023学年安徽省宿州市高三下学期教学质量检测（一模） 数学试题含答案

  宿州市2023届高三教学质量检测

数学试题

2023.2

注意事项：

1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则的元素个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3.“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（    ）

A.

B. 7阶幻方第4行第4列的数字为25

C. 8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260

D. 9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396

5. 函数的图象大致是（    ）

A. B. C. D.

6. 设，若，则（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

7. 已知A、B，C是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

8. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则  B. 若，则

C. 若，则向量在上的投影向量为 D. 若，则向量与的夹角为锐角

10. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期为

B. 函数图象的一条对称轴方程是

C. 函数在区间上单调递增

D. 将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象

11. 已知，，且，则下列不等关系成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 平面

B. 平面全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》

C. 平面截正方体外接球所得圆的面积为

D. 正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数a的值为______.

14. 若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.

15. 已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.

16. 已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数a的取值范围是______.

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为棱PC靠近点P的三等分点.

（1）证明：平面PAB；

（2）求DE与平面PBC所成的角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

在数列中，，且.

（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）记数列的前n项和为，求.

20.（本小题满分12分）

宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.

（1）求n的值；

（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点M作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数（e为自然对数的底数），a，.

（1）当时，讨论在上的单调性；

（2）当时，若存在，使，求a的取值范围.

宿州市2023届高三第一次质量检测

数学参考答案

一、选择题（单项选择）

二、选择题（多项选择）

三、填空题

13. 5    14. （即可）    15.    16.

四、解答题

17. 解：（Ⅰ）由正弦定理可得，即，

由余弦定理的变形得，

又，所以.

（Ⅱ），

由（Ⅰ）知，所以，从而，

所以，从而.

即的取值范围为.

18.（Ⅰ）证明：记F为棱PB靠近点P的三等分点，连接EF，AF.

因为，且，又且，

所以且，即四边形ADEF为平行四边形，

所以，又因为平面PAB，平面PAB，

所以平面PAB.

（Ⅱ）解：在BC上取一点G，使得，所以，

又，知四边形AGCD为矩形，从而，

又底面ABCD，所以AG，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，，

从而，，，

设平面PBC的法向量为，则

，即，

可取为平面PBC的一个法向量，则

，

设DE与平面PBC所成的角为，则

，

即DE与平面PBC所成的角的正弦值为.

19. 解：（Ⅰ）由题意，又，

所以，数列为以1为首项，4为公差的等差数列，

所以.

（Ⅱ）由已知当n为偶数时，所以

.

20. 解：（Ⅰ）共有个机房，抽取2个机房有种方法，其中全是小机房有种方法，因此全是小机房的概率为，从而解得.

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3.

，

，

，

.

则随机变量X的分布列为

则X的数学期望.

21. 解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由题意可得

，

解得，，所以，

从而椭圆C的标准方程.

（Ⅱ）设点，则以OM为直径的圆的方程为，

又圆O：，两式相减得直线AB的方程为，

设，，由，

消去y整理后得，

，，

所以

，

又点O到直线PQ的距离，

设的面积为S，则

，

其中，令，则，

设，，则，

所以在区间上单调递增，从而得，

于是可得，

即的面积的取值范围为.

22. 解：（Ⅰ）当时，，的定义域为，

，

当，即时，且不恒为0，

所以在上单调递增；

当时，方程有两不等正根，

结合定义域由可得，

由可得，

所以在区间上单调递减，

在区间和上单调递增；

当时，方程有一负根和一正根，

结合定义域由可得，

由可得，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

综上可知：

当时，在区间上单调递减，

在区间和上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在区间上单调递减，

在区间上单调递增.

（Ⅱ）当时，，令，，

则，即为，

而在上单调递减，所以当时，.

又，

①当，即时，，符合题意；

②当时，由（Ⅰ）知在上是增函数，

恒有，故不存在，使；

③当时，由于时，，

所以，令，

则，

所以在上是增函数，最大值为，

又，

所以，此时恒有，

因此不存在，使.

综上可知，.

即a的取值范围为.

另解：分离变量可得：，令，，则

，

易得当时，，且，从而，

所以在单调递减，于是.