高中数学高考53第八章 立体几何与空间向量 高考专题突破四 高考中的立体几何问题无答案

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例1 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E－ABC的体积．
跟踪训练1 如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.
题型二 立体几何中的计算问题
命题点1 求线面角
例2 (2018·浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
跟踪训练2 (2019·福州质检)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点．
(1)证明：A1C∥平面DEF；
(2)若A1C⊥EF，求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值．
命题点2 求二面角
例3 (2018·长沙、南昌联考)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC＝2，AB＝4，∠ABC＝60°.
(1)求证：BE⊥平面ACE；
(2)若直线CE与平面ABC所成的角为45°，求二面角E－AB－C的余弦值．
跟踪训练3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.
(1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；
(2)若∠BAD＝60°，求二面角B－OB1－C的余弦值．
题型三 立体几何中的探索性问题
例4 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2eq \r(2)，BC＝4eq \r(2)，PA＝2.
(1)求证：AB⊥PC；
(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
跟踪训练4 (2019·中原名校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝AC＝2，AD＝2eq \r(2)，PB＝eq \r(2)，PB⊥AC.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(2)若∠PBA＝45°，试判断棱PA上是否存在与点P，A不重合的点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为eq \f(\r(6),9)？若存在，求出eq \f(AE,AP)的值；若不存在，请说明理由．
1.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD.
(1)证明：BC⊥PB；
(2)若PA⊥PD，PB＝AB，求二面角A－PB－C的余弦值．
2.(2019·大连模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．
3．(2019·成都诊断)如图1，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，现沿对角线AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面体P－ABC，如图2所示．已知PB＝4eq \r(2).
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若Q是线段AP上的点，且eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AP,\s\up6(→))，求二面角Q－BC－A的余弦值．
4．(2019·南昌模拟)如图，多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB＝2，AE＝3，DE＝eq \r(5)，二面角E－AD－C的余弦值为eq \f(\r(5),5)，且EF∥BD.
(1)证明：平面ABCD⊥平面EDC；
(2)求平面AEF与平面EDC所成锐二面角的余弦值．
(1)证明 ∵AB＝AD＝2，AE＝3，DE＝eq \r(5)，
5．等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足eq \f(AD,DB)＝eq \f(CE,EA)＝eq \f(1,2)，如图1.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1—DE—B为直二面角，连接A1B，A1C，如图2.
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
6.如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝eq \r(3)，EC⊥BD.
(1)求证：平面BED⊥平面ABCD；
(2)若点P在侧面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．