2022-2023学年广东省河源市高三上册数学期末模拟试题（含解析）

2022-2023学年广东省河源市高三上册数学期末模拟试题

一、单选题（本大题共8小题）

1. 已知集合，且，则（    ）

A． B． C．2 D．4

2. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，且复数，若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

3. 已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4. 如图所示，一款网红冰激凌可近似地看作是圆锥和半球的组合体，将圆锥外的包装纸展开发现，它是一张半径为6的半圆形纸片，则这个冰激凌的体积为（    ）

A． B． C． D．

5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

6. 在数列中，，且，则的值为（    ）

A．18 B．19 C．20 D．21

7. 的展开式中含的项的系数为（    ）

A． B．60 C． D．30

8. 已知函数，若，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共4小题）

9. 潮汐现象是由于海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象，一般早潮叫潮，晩潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，根据安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），已知某港口在某季节的某一天的时刻（单位：小时）与水深（单位：）的关系为：，则下列说法中正确的有（    ）

A．相邻两次潮水高度最高的时间间距为

B．18时潮水起落的速度为

C．该货船在2：00至4：00期间可以进港

D．该货船在13：00至17：00期间可以进港

10. 如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点为侧棱（含端点）上的动点，若平面与直线垂直，则下列说法正确的有（    ）

A．直线与平面不可能平行

B．直线与平面不可能垂直

C．不可能为直角三角形

D．三棱锥的体积是正四棱柱体积的

11. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，当时，，则下列判断正确的是（    ）

A．的周期为2 B．

C．是偶函数 D．的值域为

12. 已知是平面直角坐标系的原点，抛物线的焦点为两点在抛物线上，下列说法正确的是（    ）

A．若，点的坐标为

B．直线与不相切

C．到直线的距离的最小值为

D．若三点共线，则

三、填空题（本大题共4小题）

13. 某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为___________分.

14. 从点射出两条光线的方程分别为：和，经轴反射后都与圆相切，则圆的方程为___________.

15. 已知函数在点处的切线经过点，则的最小值为___________.

16. 某工厂有甲､乙､丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为___________.

四、解答题（本大题共6小题）

17. 已知等差数列的前项和为，，，.

(1)求和的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前20项和.

18. 已知锐角三角形内角的对应边分别为，且.

(1)求的取值范围；

(2)若，求的面积的最大值.

19. 如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，三棱锥的体积为是的中点，是的中点，点在棱上，且.

(1)求证：平面；

(2)求平面和平面所成角的余弦值.

20. 疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：

(1)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；

(2)以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份､28百份两种方案中应选择哪种？

21. 已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)是双曲线上不同的三点，且两点关于轴对称，的外接圆经过原点.求证：直线与圆相切.

22. 已知函数，其中为自然对数的底数，.

(1)当时，函数有极小值，求；

(2)证明：恒成立；

(3)证明.

答案

1. 【正确答案】C

【分析】先化简集合A，B，再利用求解.

【详解】解：，集合，

因为，

所以，解得.

故选：C.

2. 【正确答案】D

【分析】先从图象得到再利用乘除运算得到，根据在复平面内的对应点关于虚轴对称即可求解

【详解】

复数，

所以在复平面内的对应点的坐标为，

又在复平面内的对应点关于虚轴对称，

所以在复平面内的对应点的坐标为，，

故选：D.

3. 【正确答案】D

【分析】由已知求出，再求出即得解.

【详解】解：，

，

向量与向量的夹角为.

故选：D.

4. 【正确答案】B

【详解】解：设半球的半径为，圆锥母线长为，由得，

所以这款冰激凌的体积为：

.

故选：B.

5. 【正确答案】D

【分析】利用三角函数定义和诱导公式六得出点与角的关系，再利用诱导公式一即可计算出结果.

【详解】因为，得到点在第四象限，即为第四象限角，

由三角函数定义得，

所以，

所以.

故选：D.

6. 【正确答案】C

【分析】先进行因式分解，表示出于间的递推式，最后代入数据即可.

【详解】解：，且，

，

又

.故选:C.

7. 【正确答案】A

【分析】将转化为，根据二项式定理求出含的项，即可得出答案，

【详解】的展开式中含的项为，

的展开式中含的项为，

的展开式中含的项的系数为.

故选：A.

8. 【正确答案】B

【分析】利用导数法得到函数在 单调递增，且函数为偶函数判断.

【详解】解：函数为偶函数，

又，当时，单调递增，

又函数为偶函数，，

，

且，

，

即.

故选：B.

9. 【正确答案】BCD

【分析】根据正弦函数的最小正周期判断A，根据导数的几何意义判断B，根据货船进港条件列出不等式，求解即可判断CD.

【详解】选项A：的最小正周期，所以相邻两次潮水高度最高的时间间距为，故A错误；

选项B：由题意，，所以，

由导数的几何意义可得18时潮水起落的速度为，故B正确；

选项CD：由题意可知该船进出港时，水深应不小于，

所以当时货船就可以进港，即，

所以，即，

解得，

又，所以或，即该船一天之内在港口内待的时间段为1时到5时和13时到17时，停留的总时间为8小时，故CD正确；

故选：BCD

10. 【正确答案】BD

【分析】利用线面垂直的性质定理可判断选项AB，根据四棱柱特征可知当为的中点时为直角三角形，可得C错误；根据锥体和柱体体积公式分别求出三棱锥的体积和正四棱柱体积即可得D正确.

【详解】对于A，已知，若，则需，

易知当与重合时，平面，平面，所以

故可能成立，故A错误；

对于B，假设直线与平面垂直，又因为，则，显然不合题意，因此假设不成立，即直线与平面不可能垂直，故B正确；

对于C，当为的中点时，在中，，满足勾股定理，则为直角三角形，故C错误；

对于D，三棱锥的体积为，

正四棱柱的体积为，则三棱锥的体积是正四棱柱体积的，故D正确.

故选：BD

11. 【正确答案】BC

【分析】由奇函数的性质和对称性可得，进而，可判断A，由周期性结合条件判断B，由图象变换可判断C， 由奇偶性、对称性、周期性求得值域，判断D．

【详解】对于A，的图象关于对称，，

又函数为奇函数，，

，，

即函数的周期为4，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，的图象关于对称，的图象关于对称，是偶函数，故C正确；

对于，当时，，

的图象关于对称，当时，，

又函数为奇函数，则当时，，

当时，，

又，

综上可得，的值域为，故错误.

故选：BC.

12. 【正确答案】CD

【分析】对于，利用抛物线的定义求解判断；对于，联立直线与抛物线方程，由判别式判断； 对于C，由两平行直线间的距离求解判断；对于，设直线方程为与抛物线方程联立，利用韦达定理求解判断.

【详解】解：对于，由，得，则焦点为，设，由抛物线的定义得，，解得，则点的坐标为或，故错误；

对于，联立直线与抛物线方程，消去得，得，

所以直线与抛物线相切，故错误；

对于C，直线与相切，又直线与直线平行，

两平行直线间的距离即到直线的最小距离，所求距离为：，故正确；

对于，抛物线焦点为，易知直线的斜率存在，

设直线方程为，不妨设，

由，得，则，

，故正确.

故选：CD.

13. 【正确答案】92

【分析】先利用频率分布直方图进行数据分析，求出，再套公式求出分位数.

【详解】由频率分布直方图知，

由得.

因为，

所以该次体能测试成绩的分位数落在内，设其为，

则由，解得.

故92.

14. 【正确答案】

【分析】分别求出和的对称直线，利用直线与圆相切列方程求出，即可求出圆的方程.

【详解】设关于轴的对称直线为.

则点关于轴的对称点必在上.

又与轴的交点在上，所以由两点式求得.

同理关于轴的对称直线

因为和均与圆相切，

所以，且圆在轴上方，

所求圆的方程为.

故答案为.

15. 【正确答案】6

【分析】根据导函数几何意义求出切线方程，得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】，则切点为，又，切线斜率为，

切线方程为，又点在切线上，，

则，

当且仅当，即时等号成立.

故6.

16. 【正确答案】##

【分析】设各类事件，求出各类事件的概率及相关条件概率，根据全概率公式求出选取的产品为次品的概率，由事件的分布性质求数学期望.

【详解】记事件：选取的产品为次品，

记事件：此件次品来自甲生产线，

记事件：此件次品来自乙生产线，

记事件：此件次品来自丙生产线，

由题意可得：

，

由全概率公式可得

，

从这三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为，任意选取100件产品，

设次品数为，则，

即.

故答案为.

17. 【正确答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据已知得出，即可得出的通项公式，再根据利用指对互化得出的通项公式；

（2）将数列的前20项和分为10个奇数项与10个偶数项，奇数项利用裂项相消法得出，偶数项利用错位相减法得出，即可得出答案.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

等差数列的前项和为，，

，解得，，

，

，

，

.

（2），

，

，

，

令，

则，

得：，

，

，

.

18. 【正确答案】(1)；

(2).

【分析】（1）化简已知等式得到，再求出，再结合三角函数的图象性质即得解；

（2）利用余弦定理和基本不等式得到，即得解.

【详解】（1）解：，又，

，即，

解得（舍去）或，

为锐角，，

为锐角三角形，，

，

，

的取值范围为.

（2）解：在中，由余弦定理可得，即，

（当且仅当时取等号），，

的面积为

，故当为等边三角形时，有最大面积为.

19. 【正确答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设棱的中点为，连接，证明四边形为平行四边形，从而证得，最后证明出平面；

（2）以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再求出平面，平面的法向量，最后用面面角的向量公式即可求出答案.

【详解】（1）证明：设棱的中点为，连接，

是的中点，，

在中，，且，

在上取一点，满足，连接，

在中，由，

，

四边形为平行四边形，.

又平面平面，

平面.

（2）解：依题意，是的中点，，连接，则有，

又平面平面，

又平面平面平面，且平面平面，

过作的垂线，垂足为，则平面，，

在Rt中，，

是边长为4的正三角形，，

以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

则，取，则，

又面的一个法向量为，

，

平面和平面所成角的余弦值

20. 【正确答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：

(2)选择每天生产配送27百份

【分析】（1）列出可能取值，分别计算出相应的概率，列出分布列表，即可求解.

（2）根据利润的计算方式，分别计算出当每两天生产配送27百份时的利润和当每两天生产配送28百份时利润，比较后可得答案.

【详解】（1）根据题意可得：的所有可能取值为，

，

，

的分布列为：

（2）当每两天生产配送27百份时，利润为：

（百元）

当每两天生产配送28百份时，利润为：

（百元）

，选择每天生产配送27百份.

21. 【正确答案】(1)；

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意可得，即可求得、、的值，进而得到椭圆的方程，再根据题意设，可得，可求得、的值，进而得到双曲线的标准方程；

（2）设直线的方程为，设，联立，根据韦达定理可得，再设的外接圆为，消去，可得，进而求证即可.

【详解】（1）根据题意得，又，解得，

，所以椭圆的方程为，将代入圆的方程，

椭圆的焦点坐标为，长轴上两个顶点坐标为，

依题意，设双曲线，

则，解得，

所以双曲线的方程是，即.

（2）证明：易知直线一定不为水平直线，设为，设，

联立，整理得，

则，

由于外接圆过原点且关于轴对称，设为，

将代入圆的方程得，

消去得，

又，，

，

化简得，

，，

由，

则原点到直线的距离，

即直线与圆相切.

22. 【正确答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题；

（2）不等式恒成立，即恒成立，

设，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论.

（2）由（2）知，，令，则

从而有，由的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论.

【详解】（1），令，解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以有极小值，

所以，即.

（2）证明：不等式恒成立，即恒成立，

设，则，

易知是定义域上的增函数，又，

则在上有一个根，即

当时，，当时，

此时在单调递减，在单调递增，

的最小值为，

，

，

，

恒成立，故结论成立.

（3）证明：由（2）知，，令，

则.

由此可知，当时，，

当时，，

当时，，

，

当时，，

累加得：

，

又，

所以.

函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，

难度相当大，主要考向有以下几点：

1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；

2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；

3、求函数的极值（最值）；

4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；

5、证明不等式；

解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，

在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，

对新函数求导再结合导数与单调性等解决.