高中数学高考78第十三章 系列4选讲 13 1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系

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第1课时 坐标系

1．平面直角坐标系
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的 ，θ称为点M的 ．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0))，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
概念方法微思考
1．平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？
2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )
题组二 教材改编
2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝eq \f(1,cs θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,2) B．ρ＝eq \f(1,cs θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,4)
C．ρ＝cs θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,2) D．ρ＝cs θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,4)
3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))) C．(1,0) D．(1，π)
题组三 易错自纠
4．在极坐标系中，已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A．ρsin θ＝1 B．ρsin θ＝eq \r(3)
C．ρcs θ＝1 D．ρcs θ＝eq \r(3)
5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为 ．
6．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1．(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；
(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．
2．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcs θ－eq \r(3)ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cs θ.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．
题型二 求曲线的极坐标方程
例1 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．
跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋t，,y＝t))(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝eq \f(3π,4).
(1)求圆C和直线l的极坐标方程；
(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

题型三 极坐标方程的应用
例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs α，,y＝2＋sin α))(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y＝eq \r(3)x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|).
跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcs θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
1．在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,1－sin θ).
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．
2．已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若射线θ＝eq \f(π,6)分别与曲线C1，C2交于A，B两点(异于极点)，求|AB|的值．
3．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝a(a>0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋eq \f(π,4)，θ＝φ－eq \f(π,4)，θ＝φ＋eq \f(π,2)与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.
(1)若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；
(2)求|OA|·|OC|＋|OB|·|OD|的值．
4．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝2sin α))(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ(sin θ＋eq \r(3)cs θ)＝eq \r(3).
(1)求C的极坐标方程；
(2)射线OM：θ＝θ1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)≤θ1≤\f(π,3)))与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|·|OQ|的取值范围．
5.如图，在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(7)cs α，,y＝\r(7)sin α))(α为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cs θ，直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)．
(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))对应的参数φ＝eq \f(π,4)，射线θ＝eq \f(π,3)与曲线C2交于点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,3))).
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)若点A，B为曲线C1上的两个点且OA⊥OB，求eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)的值．最新考纲
考情考向分析
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆

圆心为(r,0)，半径为r的圆
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)≤θ<\f(π,2)))
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆

过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcs θ＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))
过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线