江苏省苏北四市2022-2023学年高三下学期第一次调研测试数学试题及答案

2022-2023学年江苏省苏北四市高三年级第一次调研测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若非空且互不相等的集合，，满足：，，则

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设；，若是的充分不必要条件，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

5.  某次足球赛共支球队参加，分三个阶段进行．

小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；

半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主、客场交叉淘汰赛每两队主、客场各赛场，决出胜者；

决赛：两个胜队参加，比赛场，决出胜负．则全部赛程共需比赛的场数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若在区间上单调递增，则实数的取值范围为

A.  B.  C.  D.

7.  足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，，，分别为正多边形的顶点，则
 

A.  B.
C.  D.

8.  在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：甲：； 乙：； 丙：； 丁：所写为真命题的是

A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 丙和丁 D. 甲和丁

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  连续抛掷一枚骰子次，记事件表示“次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件表示“次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则

A. 事件与事件不互斥 B. 事件与事件相互独立
C.  D.

10.  长方体中，，底面是边长为的正方形，底面的中心为，则(    )

A. 平面
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 棱锥的内切球的半径为
D. 直线与所成角的余弦值为

11.  公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的左、右顶点分别为，，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则

A.  B.
C. 顶点到渐近线的距离为 D. 的外接圆的面积为

12.  设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则

A.  B.
C. 为偶函数 D. 的图象关于对称

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若，则          ．

14.  某学校组织名学生进行“防疫知识测试”测试后统计分析如下：学生的平均成绩为，方差为学校要对成绩不低于分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩近似服从正态分布其中近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为          四舍五入，保留整数

参考数据：随机变量服从正态分布，则，

，．

15.  已知抛物线与过点的直线相交于两点，且为坐标原点，则的面积为          ．

16.  已知函数 则函数的零点个数为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知为锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且．

求角；

若，求的周长的取值范围．

18.  本小题分

已知等比数列的前项和为，，．

求数列的通项公式；

当时，，求数列的通项公式．

19.  本小题分

如图，在四棱锥中，侧面底面，，且四边形为平行四边形，，，，．
求二面角的大小；

点在线段上且满足，试确定的值，使得直线与面所成角最大．
 

20.  本小题分

设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，若椭圆上的点到直线的最小距离为．
求椭圆的方程；

过作直线交椭圆于，两点，设直线，与直线分别交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，若，，三点共线，求直线的方程．

21.  本小题分

第届世界杯于年月日到月日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；

好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
试证明：为等比数列；
设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
 

22.  本小题分

已知函数，其中为实数，是自然对数的底数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若为的导函数，在上有两个极值点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合包含关系的判断，集合的并集运算，属于基础题．

【解答】

解：，则，
，则，
．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查虚数单位的幂运算的周期性，复数相等的充要条件，属于基础题．
先由虚数单位的幂运算可得，再由复数相等可得．

【解答】

解：，
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查依据充分不必要条件求参数范围，属于基础题．
由题意，，，是的充分不必要条件可得，解得即可．

【解答】

解：；，
，，
又是的充分不必要条件，
，解得：．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，为基础题．

【解答】

解：圆的标准方程为：，
到直线的距离，
，则选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合的简单应用，属于基础题．

【解答】

解：小组赛中每组队进行单循环比赛，就是每组支球队的任两支球队都要比赛一次，
所以小组赛共要比赛：场．
半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，
所以半决赛共要比赛：场．
决赛只需比赛场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛：场．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦型函数的单调性解决参数问题，属于中档题．

【解答】

解：由题意得，，
令，
函数在区间上单调递增，
，，故．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形，平面向量数量积运算，属较难题．

【解答】

解：，
，，
，
，选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查命题真假的判断，及利用构造函数，利用导数研究函数的单调性，比大小，属于难题。

【解答】

解：令，则，令，得，
当时，，此时为增函数；
当时，，此时为减函数；
，，，即，即，甲正确；

，，，
，乙错误；
，丙正确。
对于丁，，
而，所以，丁错误。

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件、相互独立事件的判断，条件概率的求解，为中档题．

【解答】

解：事件，可同时发生，则事件，不互斥，对．
，，
，即，不独立，错，错．
，对．
故选AD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查立体几何的基本知识，考查投影向量与线面所成角的求法，属于中档题．

【解答】

解：，平面，平面，平面，对．

，，，在上的投影为
在上的投影向量为，对．

设棱锥的内切球半径为，则，，错．
，，，，
与所成角余弦值为，则与所成角余弦值为，对．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的离心率问题、双曲线的渐近线，属于中档题．

【解答】

解：对于：由题意知，，，故A正确；
对于：，，，则，，
，故B正确．
对于：顶点到渐近线距离，故C错．
对于：为直角三角形，且，，故外接圆的半径为，
外接圆面积，故D正确．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的综合性质，属难题．

【解答】

解：为奇函数，，
，又为偶函数，
关于对称，，
，且一个周期为
，A正确．
，错．
由知为偶函数，C正确．
对于，
时，，，不关于对称，
错，选 AC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式的展开式及其通项，组合数的计算，属于基础题。

【解答】

解：展开式第项，
当时，
当时，
，．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布的应用，为基础题．

【解答】

解：其中，，，
，
．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线结合求面积的问题，属于中档题．

【解答】

解：令，，，
消可得，则，，．，
，
，负值舍去，，
不妨设，则，，
，，．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求函数零点个数问题，考查化归与转化思想，函数与方程思想，属于中档题．

【解答】

解：令，，
则可得，即．
在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示．
当时，，
则和的图象在区间上有一个交点，即，
当时，由图象可得，和的图象在区间上有一个交点，即，
当时，，
故和的图象在区间上没有交点．
结合图象可知，当时有个根，
当时有个根．
所以的零点共有个．

17.【答案】解：由正弦定理，得，

即，即，

又，所以，

所以，故．

由正弦定理，得，，

所以的周长

，

由为锐角三角形可知， 得，

所以，所以

所以的周长的取值范围为．

【解析】本题考查解三角形、三角函数恒等变换，属中档题．
 

18.【答案】解：设数列的公比为．

得，所以

有，得，

则数列的通项公式为．

由，时，得 

所以时，

有，得时，

又，故

【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：连接，在，，
，由余弦定理得，所以
因为侧面底面，面底面，，
所以面，所以．

法：以为原点建立如图所示空间直角坐标系．
则，．
设平面的法向量为，

由，得，可取．
易知为面的法向量．
所以．
因为二面角为锐角，所以．
即二面角的大小为．

法：因为面，所以．
因为四边形为平行四边形，所以，
又，所以面，所以．
又面面，所以为二面角的平面角，
因为，二面角为锐角，所以．
即二面角的大小为．
设，，得，
，所以，所以．
由知平面的法向量为．
因为，
所以当时，值最大，即当时，与平面所成角最大．

【解析】本题考查二面角的求解与线面角最值的求解，结合空间向量法即可求出，为中档题．
 

20.【答案】解：由条件知， 解得
所以，所以椭圆的方程为．

由知，，，
由题意知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，
联立 消去并整理得，
．
设，，则，．
所以，，
所以直线的斜率为．
直线的方程为，
直线的方程为，则，
直线的方程为，同理有．
所以．
所以直线的斜率为．
由，，三点共线可得，，
即，所以或．
故直线的方程为或或 

【解析】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算能力，题目较难．
 

21.【答案】解：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，，，，易知，
所以，，
故的分布列为：

所以的期望．
第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
由可知，所以，
所以，故．

【解析】本题考查离散型随机变量分布列以及二项分布期望的求解、数列与概率的综合应用，为较难题．
 

22.【答案】解：当时，，
则，所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为

 ，
，在上有两个极值点，
即上有两个变号零点，
令 得，
， ，
，
当时， 单调增，
当时，单调减， ，
当时，，
使，
当时，单调减，
当时，单调增，
当时，单调减，即时，在上有两个极值点．

【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，考查转化思想，属于难题．