高中数学高考10 2　二项式定理

这是一份高中数学高考10 2　二项式定理，共8页。试卷主要包含了二项式定理，二项式系数的性质，故选C，故填－56，故填16；4等内容，欢迎下载使用。
10．2　二项式定理



1．二项式定理
(a＋b)n＝_______________________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．
2．二项式系数的性质
(1)对称性
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，____________，…，C＝C．
(2)增减性与最大值
二项式系数C，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．
当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝________．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________．

自查自纠：
1．Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn　
n＋1
C　Can－kbk　Tk＋1＝Can－kbk　k＋1
2．(1)C＝C　
(2)k＜　k＞　　
　(3)2n　2n　2n－1


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()(1＋x)6展开式中x2的系数为 (　　)
A．15 B．20 C．30 D．35
解：(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C．
()(x2＋)5的展开式中x4的系数为 (　　)
A．10 B．20 C．40 D．80
解：由题可得Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝C·2r· x10－3r，令10－3r＝4，则r＝2，所以x4的系数为C×22＝40．故选C．
()(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 (　　)
A．－80 B．－40 C．40 D．80
解：原题即求(2x－y)5中x2y3与x3y2系数的和，即为C·22·(－1)3＋C·23·(－1)2＝40．故选C．
()(2x＋)5的展开式中，x3的系数是____________．(用数字填写答案)
解：展开式的通项为Tr＋1＝25－rC，令 5－＝3，得r＝4，故所求系数为2C＝10．故填10．
()的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
解：二项式展开式通项为Tr＋1＝C(x2)8－r＝(－1)rCx16－3r，令16－3r＝7，r＝3，所以x7的系数为(－1)3C＝－56．故填－56．



类型一　求特定项
　(1)()已知(－)5的展开式中含x的项的系数为30，则实数a＝________．
解：(－)5的展开式的通项为Tr＋1＝ C()5－r·(－)r＝(－a)rC·x．依题意，令 5－2r＝3，得r＝1，所以(－a)1·C＝30，解得a＝－6．故填－6．
(2)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解：第一个因式取x2，第二个因式取得：1×C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2．展开式的常数项是5＋(－2)＝3．故选D．
(3)()已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．
解：a4为含x的项的系数，根据二项式定理，a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，a5＝C×13×C×22＝4．故填16；4．

点　拨：
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．②已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其系数．
　　
　(1)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 (　　)
A．－40 B．－20 C．20 D．40
解：令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，的展开式中项的系数为C22(－1)3，x项的系数为 C23，所以(2x－)5的展开式中常数项为 C22(－1)＋C23＝40．故选D．
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
解：(x＋y)8展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－ryr(r＝0，1，…，8)，
所以T8＝Cxy7＝8xy7，T7＝Cx2y6＝28x2y6．
所以(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的项为x·8xy7－y·28x2y6＝－20x2y7，故系数为－20．故填－20．
(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．60
解：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为CCC＝30，故选C．
类型二　展开式的系数和问题
　在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10．
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210．
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1．
(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29．
(4)令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
所以奇数项系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
所以偶数项系数和为．
(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝．

点 　拨：
①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．

　(1)()若二项式(3x2－)n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为 (　　)
A．－27C B．27C C．－9C D．9C
解：令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故(3x2－)9的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r(－)r＝ (－1)rC·39－r·x18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C．故选B．
(2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝ (　　)
A．1 024 B．243 C．32 D．24
解：令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝ |a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝ 1 024．故选A．
(3)设＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝_________________________________________．
解：设f(x)＝，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1)(a0＋a2＋a4＋…＋ a2n＋a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＝f(－1)·f(1)＝ ·＝＝．故填．
类型三　系数最大项问题
　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992．
(1)求的二项式系数最大的项；
(2)求的展开式系数最大的项．
解：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，
所以2n＝32(负值舍去)，解得n＝5．
(1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252．
所以T6＝C(2x)5＝C25＝8 064．
(2)设第r＋1项的系数最大，
因为Tr＋1＝C(2x)10－r＝C210－rx10－2r，

解得≤r≤，
因为r∈N，所以r＝3．故系数最大的项是第4项，第4项为T4＝C27x4＝15 360x4．

点　拨：
求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项(第项与第＋1项)的二项式系数相等并最大．求展开式系数最大项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组从而解出r，即得展开式系数最大的项．

　已知的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：(1)易知n＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
所以T3＝C·(3x2)2＝90x6，
T4＝C·(3x2)3＝270x．
(2)设展开式中第r＋1项的系数最大．
Tr＋1＝C·(x)5－r·(3x2)r＝C·3r·x，
即
解得≤r≤．因为r∈N，
所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大．
T5＝C·x·(3x2)4＝405x．

类型四　整除问题与求近似值问题
　(1)()487被7除的余数为a(0≤a