高中数学高考5 第4讲　三角函数的图象与性质　新题培优练

[基础题组练]

1．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)

A．[－，]　 B．[0，π]

C．[π，] D．[，2π]

解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.

2．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是(　　)

A．是奇函数

B．在区间(0，)上单调递减

C．(，0)为其图象的一个对称中心

D．最小正周期为π

解析：选C.函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，)上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，当k＝0时，x＝，所以它的图象关于(，0)对称，故选C.

3．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)对称，那么|φ|的最小值为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.由题意得3cos(2×＋φ)＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos(＋φ)＝0，

所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.

所以φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，

得|φ|的最小值为.

4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()的值为(　　)

A．2或0 B．－2或2

C．0 D．－2或0

解析：选B.因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，所以该函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.

5．(2019·山西晋城一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象的一个对称中心为(，0)，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是(　　)

A．1 B.

C．2 D．π

解析：选B.因为函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象的一个对称中心为(，0)，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.

6．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D．2

解析：选C.因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)是奇函数，0≤φ≤π，所以φ＝，所以f(x)＝cos＝－sin ωx，因为f(x)在 上单调递减，所以－×ω≥－且×ω ≤，解得ω≤，又ω>0，故ω的最大值为.

7．(2019·高考北京卷)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．

解析：因为f(x)＝sin22x＝，所以f(x)的最小正周期T＝＝.

答案：

8．(2019·昆明调研)已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点(，0)对称，且f(x)在[0，]上为增函数，则ω＝________.

解析：将点(，0)代入f(x)＝sin ωx，得sinω＝0，所以ω＝nπ，n∈Z，得ω＝n，n∈Z.设函数f(x)的最小正周期为T，因为f(x)在[0，]上为增函数，所以ω>0，≥，所以T≥π，即≥π，所以ω≤2.所以n＝1，ω＝.

答案：

9．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．

解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，

所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.

答案：

10．(2019·成都模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋)．若x1x2<0，且f(x1)－f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为________．

解析：如图，画出f(x)＝sin(2x＋)的大致图象，

记M(0，)，N(，)，则|MN|＝.设点A，A′是平行于x轴的直线l与函数f(x)图象的两个交点(A，A′位于y轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x1，x2，结合图形可知，|x2－x1|＝|AA′|∈(|MN|，＋∞)，即|x2－x1|∈(，＋∞)．

答案：(，＋∞)

11．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．

解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.

(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)因为x∈，

所以≤2x＋≤，

所以－1≤sin≤  ，

所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.

12．(2019·安徽池州一模)已知函数f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx－(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)>，求x的取值集合．

解：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx－＝(1＋cos 2ωx)＋sin 2ωx－＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝sin(2ωx＋)．因为周期为＝π，所以ω＝1，故f(x)＝sin(2x＋)．由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.

(2)f(x)>，即sin(2x＋)>，由正弦函数的性质得＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z，则x的取值集合为{x|－＋kπ <x<＋kπ，k∈Z}．

[综合题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数

②f(x)在区间单调递增

③f(x)在[－π，π]有4个零点

④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①②④　　　B．②④　　　C．①④　　　D．①③

解析：选C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，所以f(x)在单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，

所以f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.

优解：因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，所以f(x)在单调递减，故②不正确，排除A；因为y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.

2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：

①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点

②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点

③f(x)在单调递增

④ω的取值范围是

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①④  B．②③  C．①②③  D．①③④

解析：选D.如图，根据题意知，xA≤2π<xB，根据图象可知函数f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π<xB，有≤2π<，得≤ω<，所以④正确；当x∈(0，)时，<ωx＋<＋，因为≤ω<，所以＋<<，所以函数f(x)在(0，)单调递增，所以③正确．

3．(应用型)(2019·唐山模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，f()＋f()＝0，且f(x)在区间(，)上递减，则ω＝________.

解析：因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)，

由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，

得＋≤x≤＋，因为f(x)在区间(，)上递减，所以(，)⊆[＋，＋]，从而有

解得12k＋1≤ω≤，k∈Z，

所以1≤ω≤，因为f()＋f()＝0，

所以x＝＝为f(x)＝2sin(ωx＋)的一个对称中心的横坐标，

所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，

又1≤ω≤，

所以ω＝2.

答案：2

4．(创新型)(2019·兰州模拟)已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a，b的值；

(2)设g(x)＝f(x＋)且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．

解：(1)因为x∈[0，]，

所以2x＋∈[，]，

所以sin(2x＋)∈[－，1]，

所以－2asin(2x＋)∈[－2a，a]，

所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因为－5≤f(x)≤1，

所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.

(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1，

g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1

＝4sin(2x＋)－1，

又由lg g(x)>0，得g(x)>1，

所以4sin(2x＋)－1>1，

所以sin(2x＋)>，

所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，

g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，

所以g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋]，k∈Z.

又因为当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，

g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.

所以g(x)的单调减区间为(kπ＋，kπ＋)，k∈Z.

所以g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋]，k∈Z，

单调减区间为(kπ＋，kπ＋)，k∈Z.