高中数学高考3 第3讲　二项式定理　新题培优练

这是一份高中数学高考3 第3讲　二项式定理　新题培优练，共6页。

 [基础题组练]
1．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)的展开式中的常数项为(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
解析：选D.通项Tr＋1＝C(－x4)r＝C()3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D.
2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为(　　)
A．50 B．55
C．45 D．60
解析：选B.(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C＝55.故选B.
3.的展开式中x4的系数为(　　)
A．10 B．20
C．40 D．80
解析：选D.通项公式Tr＋1＝C(2x2)5－r＝25－rCx10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2.所以的展开式中x4的系数＝23·C＝80.故选D.
4．(2019·河北石家庄模拟)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为(　　)
A．－5 B．－15
C．－25 D．25
解析：选B.因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为5－2C＝－15.故选B.
5．(2019·吉林四平联考)1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
解析：选C.令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
6．(2019·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．29 B．210
C．211 D．212
解析：选A.由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29，故选A.
7．(2019·辽宁沈阳模拟)(x2＋2)展开式中的常数项是(　　)
A．12 B．－12
C．8 D．－8
解析：选B.展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r＝(－1)rCxr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C＋2(－1)5C＝－12.故选B.
8．(2019·太原模拟)展开式中的常数项为(　　)
A．1 B．21
C．31 D．51
解析：选D.因为＝
＝C(x＋1)5＋C(x＋1)4·＋C(x＋1)3·＋C(x＋1)2·＋C(x＋1)1·＋C.
所以展开式中的常数项为C·C·15＋C·C·13＋C·C·12＝51.故选D.
9．若二项式(x2＋)7的展开式的各项系数之和为－1，则含x2项的系数为(　　)
A．560 B．－560
C．280 D．－280
解析：选A.取x＝1，得二项式(x2＋)7的展开式的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，1＋a＝－1，a＝－2.二项式的展开式的通项Tr＋1＝C·(x2)7－r·＝C·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式(x2－)7的展开式中含x2项的系数为C·(－2)4＝560，选A.
10．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B.(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，所以a＝C.
同理，b＝C.
因为13a＝7b，所以13·C＝7·C.
所以13·＝7·.
所以m＝6.
11．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
A．2n B.
C．2n＋1 D.
解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x2)n，
则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.
12．(2019·陕西部分学校摸底考试)已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)
A．39 B．310
C．311 D．312
解析：选D.对(x＋2)9＝ a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D.
13．(2019·广州市调研测试)已知(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________．
解析：法一：因为(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以取x＝1得(＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)①；取x＝－1得(－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)②.①②相乘得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(＋2)4×(－2)4＝[()2－22]4＝16.
法二：因为(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以根据二项式定理得a0＝4，a1＝16，a2＝48，a3＝32，a4＝16.故(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(4＋48＋16)2－(16＋32)2＝16.
答案：16
14.(x>0)的展开式中的常数项为________．
解析：(x>0)可化为，因而Tr＋1＝C()10－2r，令10－2r＝0，则r＝5，故展开式中的常数项为C·＝.
答案：
15．(2019·山东枣庄模拟)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a＝________．
解析：的展开式的通项公式为
Tr＋1＝C·x10－r·＝C·x10－2r，
令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4项的系数为C.
令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为C.
所以(x2－a)的展开式中x6的系数为C－aC＝30，解得a＝2.
答案：2
16．在二项式的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是________．
解析：由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8，所以二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r·(－x－1)r＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，故展开式中含有x2项的系数是(－1)3C＝－56.
答案：－56
[综合题组练]
1．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　)
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：选C.因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－1＝26－1＝63，故选C.
2．二项式的展开式中，除常数项外，各项系数的和为(　　)
A．－671 B．671
C．672 D．673
解析：选B.令x＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－2x2)r＝C(－2)r·x3r－9，令3r－9＝0，得r＝3，所以该二项展开式中的常数项为C(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671，故选B.
3．(应用型)487被7除的余数为a(0≤a<7)，则展开式中x－3的系数为(　　)
A．4 320 B．－4 320
C．20 D．－20
解析：选B.487＝(49－1)7＝C·497－C·496＋…＋C·49－1，
因为487被7除的余数为a(0≤a<7)，
所以a＝6，
所以展开式的通项为Tr＋1＝C·(－6)r·x6－3r，
令6－3r＝－3，可得r＝3，
所以展开式中x－3的系数为C·(－6)3＝－4 320.
4．(创新型)(2019·湖南永州模拟)设a＝2x dx，则二项式的展开式中的常数项为________．
解析：a＝2x dx＝x2＝1，则二项式＝，其展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)6－r·＝(－1)rCx12－3r，
令12－3r＝0，解得r＝4.
所以常数项为(－1)4C＝15.
答案：15
5．(应用型)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)因为a0＝C＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)因为(1－2x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
6．(应用型)已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，
由已知得2×C＝C＋C，
解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·＝2－rCx4－(r＝0，1，…，8)，
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，
则＝＝≥1，
＝＝≥1，
解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.