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高中数学高考2 第2讲 一元二次不等式及其解法
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这是一份高中数学高考2 第2讲 一元二次不等式及其解法，共18页。试卷主要包含了一元一次不等式ax>b的解集，三个“二次”间的关系，不等式eq \f≤0的解集为，已知函数f＝ax2＋bx＋c等内容，欢迎下载使用。
第2讲 一元二次不等式及其解法
最新考纲
考向预测
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.会解一元二次不等式.
命题
趋势
不等式解法是不等式中的重要内容，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.
核心
素养
数学运算、逻辑推理
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
一元二次方
程ax2＋bx
＋c＝0(a>0)
的根
有两个相异实
根x1，x2(x1
根x1＝x2
＝－
没有实
数根
一元二次不等
式ax2＋bx＋c
>0(a>0)
的解集
{x|x>x2
或x
R
ax2＋bx＋c
<0(a>0)
的解集
{x|x1
∅
常用结论
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔
2．两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
常见误区
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2．解不等式时忽视变形必须等价．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于( )
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1
A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|1
解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4
5．(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得解得－4
一元二次不等式的解法
解下列关于x的不等式．
(1)0
【解】 (1)原不等式等价于
即
即
解得
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解(x－1)<0得1
当a>1时，解集为.
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．
1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为.
答案：
2．不等式＋2≥0的解集为________．
解析：不等式变为≥0，即解得x>1或x≤.
答案：
3．解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．
解：因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
一元二次不等式的恒成立问题
角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参
数的范围
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，
对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2
【答案】 (－2，2]
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围
若不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－3或m≥0 B．m≥－3
C．－3≤m≤0 D．m≤－3
【解析】 因为不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，
所以只需m≤(x2－4x)min，x∈[0，1]，
令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0，1]，
所以f(x)min＝f(1)＝－3，
所以m≤－3.
【答案】 D
形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])恒成立问题
的求解思路
(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围．
(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．
角度三 给定参数范围的恒成立问题
已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
【解析】 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，解不等式组得x<1或x>3.故选C项．
【答案】 C
已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解．
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2])．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，
解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7，
所以－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
所以实数x的取值范围是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
思想方法系列1 转化与化归思想在一元二次不等式中的应用
若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为________．
【解析】 设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，
因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)，
如图，
所以
所以即
则－4
三个“二次”关系的应用
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联系，解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题．
1．关于x的不等式(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，则关于x的不等式x2＋bx－2a<0的解集为( )
A．(－2，5) B．
C．(－2，1) D．
解析：选A.由题意知关于x的方程(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]＝0的实数根为－1和3，则解得a＝5，b＝－3(a＝b＝1舍去)．则不等式x2＋bx－2a<0即为x2－3x－10<0，解得－2
解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需即解得－
[A级 基础练]
1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为( )
A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
解析：选A.由x2－3x－10<0，解得－2
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1，1)
解析：选A.因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1.
3．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选A.由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.
4．若不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，所以Δ>0，即1－4m2>0，所以－
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7
解析：选BCD.对于A，因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
所以由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
所以不等式的解集为.故A错误；
对于B，因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，
所以(2x－1)(3x＋2)≥0，
所以x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．所以－7×(－1)＝，所以a＝3.故C正确；
对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是________．
解析：原不等式可化为(x－a)<0，由0
8．若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：方法一：当x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，因为不等式x2＋2ax＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以x2＋2ax＋1＝0在R上无解或有两个相等的实根或x2＋2ax＋1＝0有两个不等的实根且两根均小于0，所以Δ＝4a2－4≤0或解得a≥－1.
方法二：因为x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，不等式可化为－2a≤x＋(x∈(0，＋∞))，由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以易知－2a≤2，解得a≥－1.综上，a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入方程解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，
即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
所以，得，
所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
因为F(x)＝，
所以F(2)＋F(－2)＝8.
(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在x∈(0，1]恒成立，根据单调性可得－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，
所以－2≤b≤0.
[B级 综合练]
11．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是( )
A．b<0且c>0
B．a－b＋c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)
解析：选ABD.对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)，所以D正确．
12．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
解析：由题意，可知不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x都成立，
又由(x－a)(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，
解得－
14．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解：(1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，
所以100－80≥0，解得0≤x≤2.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.所以x的取值范围是.
[C级 创新练]
15．若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，
即x2－2x＋1
y2＝a(x＋1)－1，易知y2过定点(－1，－1)，
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，
若集合A＝{x∈Z|f(x)<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0，1)和点(2，1)在直线上或者在直线上方，点(1，0)在直线下方，
所以解得
16．已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
解：(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}；
当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或x>k＋}；
当k＝2时，A＝{x|x≠4}；
当k<0时，A＝{x|k＋
因为k＋＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，
所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，
此时A＝{x|－4
第2讲 一元二次不等式及其解法
最新考纲
考向预测
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.会解一元二次不等式.
命题
趋势
不等式解法是不等式中的重要内容，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.
核心
素养
数学运算、逻辑推理
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
一元二次方
程ax2＋bx
＋c＝0(a>0)
的根
有两个相异实
根x1，x2(x1
根x1＝x2
＝－
没有实
数根
一元二次不等
式ax2＋bx＋c
>0(a>0)
的解集
{x|x>x2
或x
R
ax2＋bx＋c
<0(a>0)
的解集
{x|x1
∅
常用结论
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔
2．两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
常见误区
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2．解不等式时忽视变形必须等价．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于( )
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1
A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|1
解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4
5．(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得解得－4
一元二次不等式的解法
解下列关于x的不等式．
(1)0
【解】 (1)原不等式等价于
即
即
解得
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得
当a>1时，解集为.
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．
1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为.
答案：
2．不等式＋2≥0的解集为________．
解析：不等式变为≥0，即解得x>1或x≤.
答案：
3．解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．
解：因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
一元二次不等式的恒成立问题
角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参
数的范围
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，
对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2
【答案】 (－2，2]
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围
若不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－3或m≥0 B．m≥－3
C．－3≤m≤0 D．m≤－3
【解析】 因为不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，
所以只需m≤(x2－4x)min，x∈[0，1]，
令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0，1]，
所以f(x)min＝f(1)＝－3，
所以m≤－3.
【答案】 D
形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])恒成立问题
的求解思路
(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围．
(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．
角度三 给定参数范围的恒成立问题
已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
【解析】 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，解不等式组得x<1或x>3.故选C项．
【答案】 C
已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解．
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2])．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，
解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7，
所以－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
所以实数x的取值范围是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
思想方法系列1 转化与化归思想在一元二次不等式中的应用
若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为________．
【解析】 设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，
因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)，
如图，
所以
所以即
则－4
三个“二次”关系的应用
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联系，解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题．
1．关于x的不等式(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，则关于x的不等式x2＋bx－2a<0的解集为( )
A．(－2，5) B．
C．(－2，1) D．
解析：选A.由题意知关于x的方程(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]＝0的实数根为－1和3，则解得a＝5，b＝－3(a＝b＝1舍去)．则不等式x2＋bx－2a<0即为x2－3x－10<0，解得－2
解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需即解得－
[A级 基础练]
1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为( )
A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
解析：选A.由x2－3x－10<0，解得－2
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1，1)
解析：选A.因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1.
3．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选A.由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.
4．若不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，所以Δ>0，即1－4m2>0，所以－
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7
解析：选BCD.对于A，因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
所以由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
所以不等式的解集为.故A错误；
对于B，因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，
所以(2x－1)(3x＋2)≥0，
所以x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．所以－7×(－1)＝，所以a＝3.故C正确；
对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0
解析：原不等式可化为(x－a)<0，由0
8．若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：方法一：当x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，因为不等式x2＋2ax＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以x2＋2ax＋1＝0在R上无解或有两个相等的实根或x2＋2ax＋1＝0有两个不等的实根且两根均小于0，所以Δ＝4a2－4≤0或解得a≥－1.
方法二：因为x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，不等式可化为－2a≤x＋(x∈(0，＋∞))，由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以易知－2a≤2，解得a≥－1.综上，a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入方程解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，
即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－3
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
所以，得，
所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
因为F(x)＝，
所以F(2)＋F(－2)＝8.
(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在x∈(0，1]恒成立，根据单调性可得－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，
所以－2≤b≤0.
[B级 综合练]
11．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是( )
A．b<0且c>0
B．a－b＋c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)
解析：选ABD.对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)，所以D正确．
12．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
解析：由题意，可知不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x都成立，
又由(x－a)(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，
解得－
14．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解：(1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，
所以100－80≥0，解得0≤x≤2.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.所以x的取值范围是.
[C级 创新练]
15．若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，
即x2－2x＋1
y2＝a(x＋1)－1，易知y2过定点(－1，－1)，
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，
若集合A＝{x∈Z|f(x)<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0，1)和点(2，1)在直线上或者在直线上方，点(1，0)在直线下方，
所以解得
16．已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
解：(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}；
当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或x>k＋}；
当k＝2时，A＝{x|x≠4}；
当k<0时，A＝{x|k＋
因为k＋＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，
所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，
此时A＝{x|－4
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