高中数学高考2 第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·辽宁五校联考)sin 1 470°＝(　　)

A.　　 B.

C．－ D．－

解析：选B.sin 1 470°＝sin(1 440°＋30°)＝sin(360°×4＋30°)＝sin 30°＝，故选B.

2．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)

A．3 B．－3

C．1 D．－1

解析：选B.因为α是第三象限角，故sin α<0，cos α<0，所以原式＝＋＝－1－2＝－3.

3．(2019·贵阳模拟)已知f(x)＝tan x＋，则f的值为(　　)

A．2   B.

C．2   D．4

解析：选D.因为f(x)＝tan x＋＝＋＝＝，所以f＝＝4，故选D.

4．若＝，则tan θ＝(　　)

A．1 B．－1

C．3 D．－3

解析：选D.因为

＝＝，

所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，

所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.

5．(2019·黄冈模拟)已知sin(π＋α)＝－，则tan(－α)的值为(　　)

A．2 B．－2

C. D．±2

解析：选D.因为sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，则cos α＝±，所以tan(－α)＝＝＝±2.故选D.

6．(2019·山西晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　)

A. B.

C. D.

解析：选B.|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝，所以|sin 2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin2 2θ＝1－×＝，故选B.

7．(2019·安徽皖南八校第二次联考)已知θ∈，且＋＝35，则tan θ＝(　　)

A.   B.

C．± D.或

解析：选D.依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t，因为θ∈，所以t>0，则原式化为12t＝35·，解得t＝，故sin θ＋cos θ＝，则sin θcos θ＝，即＝，即＝，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝或.

8．(2019·安徽五校联盟第二次质检)若α是锐角，且cos＝，则cos＝________．

解析：因为0<α<，所以<α＋<，

又cos＝，所以sin＝，

则cos＝sin α＝sin＝

sincos－cossin＝×－×＝.

答案：

9．(2019·兰州市诊断考试)已知sin α＋cos α＝，sin α>cos α，则tan α＝________．

解析：法一：由题意，将已知等式两边平方并化简可得

sin αcos α＝，

因为sin α>cos α，sin2 α＋cos2α＝1,

所以sin α＝，cos α＝，所以tan α＝.

法二：由题意，将已知等式两边平方并化简可得sin αcos α＝，所以＝＝，即12tan2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝或tan α＝，因为sin α>cos α，所以tan α＝.

答案：

10．(2019·河南安阳一模)若＝3，则cos α－2sin α＝________．

解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝，所以cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－.

答案：－

11．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．

解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，

所以sin θ＝－，所以原式＝＋

＝＋

＝＝＝＝18.

12．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.

(1)求sin Acos A的值；

(2)求tan A的值．

解：(1)因为sin A＋cos A＝，所以(sin A＋cos A)2＝，即1＋2sin Acos A＝，

故sin Acos A＝－.

(2)在△ABC中，sin A>0，又sin Acos A<0，所以cos A<0，所以sin A－cos A>0，所以sin A－cos A＝＝＝＝，①

又sin A＋cos A＝，②

由①②知，sin A＝，cos A＝－，

因此tan A＝＝－.

[综合题组练]

1．(创新型)(2019·河北衡水模拟)已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB的斜率为(　　)

A．3 B．－4

C.  D．－

解析：选D.由题意知tan θ＝3，kAB＝＝＝－.故选D.

2．(创新型)(2019·湖北部分重点中学联考)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝m，m∈(0，1)，则tan θ的可能取值为(　　)

A．－3 B．3

C．－ D.

解析：选A.由m∈(0，1)，得sin θ＋cos θ>0，所以θ∈.又因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝m2，m∈(0，1)，从而得2sin θcos θ<0，得θ∈.综上可得θ∈，则tan θ<－1，所以可能的取值为－3，故选A.

3．(应用型)若方程cos2x－sin x＋a＝0在内有解，则a的取值范围是________．

解析：方程cos2x－sin x＋a＝0，即sin2x＋sin x－a－1＝0.

由于x∈，所以0<sin x≤1.设sin x＝t∈(0，1]，则问题转化为方程t2＋t－a－1＝0在(0，1]上有解．

设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－在区间(0，1]的左侧，图象如图所示．

因此f(t)＝0在(0，1]上有解，

当且仅当即

解得－1<a≤1，故a的取值范围是(－1，1]．

答案：(－1，1]

4．(应用型)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

解：(1)原式＝＋

＝＋

＝＝sin θ＋cos θ.

由条件知sin θ＋cos θ＝，

故＋＝.

(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，

sin θcos θ＝，

又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.

(3)由

得或

又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.