高中数学高考1 第1讲　不等关系与不等式　新题培优练

1．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a2<b2　 B．ab2>a2b

C. <   D. <

解析：选C.若a<b<0，则a2>b2，故A错；若0<a<b，则>，故D错；若ab<0，即a<0，b>0，则a2b>ab2，故B错；故C正确．所以选C.

2．(2019·石家庄市质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a2<－ab   B．|a|<|b|

C.>   D.>

解析：选C.法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立．因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C.

法二：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立，故选C.

3．(一题多解)若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是　(　　)

A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n

C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m

解析：选D.法一(取特殊值法)：令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．

法二：m＋n<0⇒m＜－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．

4．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C.由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出<.由a>0>b得>，故能推出<成立的条件有3个．

5．下列四个命题中，正确命题的个数为(　　)

①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；

③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则>.

A．3 B．2

C．1 D．0

解析：选C.易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，则<，当c>0时，<，故④错误．所以正确的命题只有1个．

6．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．

解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，

因为a1<a2，b1<b2，

所以(a1－a2)(b1－b2)>0，

即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1

7．设a>b，有下列不等式①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，则一定成立的有________．(填正确的序号)

解析：对于①，>0，故①成立；

对于②，a>0，b<0时不成立；

对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；

对于④，|c|≥0，故④成立．

答案：①④

8．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是______．

解析：因为－<α<π，－<β<π，

所以－π<－β<，

所以－<α－β<.又因为α<β，

所以α－β<0，从而－<α－β<0.

答案：

[综合题组练]

1．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是(　　)

A．[9，18] B．(15，30)

C．[9，30] D．(9，30)

解析：选D.因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.

2．若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)

A．a＋<<log2(a＋b)

B.<log2(a＋b)<a＋

C．a＋<log2(a＋b)<

D．log2(a＋b)<a＋<

解析：选B.根据题意，令a＝2，b＝进行验证，易知a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2＞1，因此a＋＞log2(a＋b)＞.

3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若<<，则(　　)

A．c<a<b B．b<c<a

C．a<b<c D．c<b<a

解析：选A.由<<，可得＋1<＋1<＋1，即<<，又a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c；由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c<a<b.故选A.

4．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．

解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，

当a>0时，b2>1>b，

即解得b<－1；

当a<0时，b2<1<b，

即无解．

综上可得b<－1.

答案：(－∞，－1)