高中数学高考 2021届小题必练9 立体几何与空间向量（理）-教师版(1)

1．掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

2．能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图．

3．能借助长方体，认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系．

4．能从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系．

5．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．

6．了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．

7．掌握用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．

8．能用向量法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题和简单夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，设，，则，

由题意得，即，化简得，

解得（负值舍去）．

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力．

2．【2020年高考全国II卷理数】已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．

若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】设球的半径为，则，解得，

设外接圆半径为，边长为，

是面积为的等边三角形，，解得，

，

球心到平面的距离．

【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．

一、选择题．

1．已知，分别是长方体的棱的中点，若，，

则四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，四面体的外接球就是直三棱柱的外接球，

设棱柱的底面的外接圆圆心为，三棱柱的外接球为，

的外接圆半径，，解得，

外接球的半径，

∴四面体的外接球的表面积为．

2．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：

四棱锥的一个侧面与底面垂直，过作，垂足为，

∴底面，，底面为边长为的正方形，

∴几何体的体积．

3．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，在正方体中，记的中点为，连接，

则平面即为平面．证明如下：

由正方体的性质可知，，则，，，四点共面，

记的中点为，连接，易证．

连接，则，，平面，

所以平面，

又平面，则．

同理可证，，，

则平面，

所以平面即平面，

四边形即平面截正方体所得的截面．

因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，

其对角线，，

所以其面积．

4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则

②若，，，则

③若，，则

④若，，则

其中正确命题的序号是（    ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

【答案】A

【解析】对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，

又因为，，所以，结合，得，由此可得①是真命题；

对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；

对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，

而平面是正方体下底面所在的平面，

则有且成立，但不能推出，故③不正确；

对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，

则有且，但是，推不出，故④不正确，

综上所述，其中正确命题的序号是①和②．

5．如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：

①异面直线与间的距离为定值；

②三棱锥的体积为定值；

③异面直线与直线所成的角为定值；

④二面角的大小为定值．

其中真命题有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】D

【解析】对于①，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，

即为正方体的棱长，为定值．故①正确；

对于②，由于，而为定值，

又，平面，所以点到该平面的距离即为正方体的棱长，

所以三棱锥的体积为定值．故②正确；

对于③，由题意得在正方体中，平面，

而平面，所以，

故这两条异面直线所成的角为．故③正确；

对于④，因为二面角的大小，

即为平面与平面所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，

故二面角的大小为定值．故④正确，

综上①②③④正确．

6．如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，

∵，∴，

∴，所以，

∴，

∴，

∴的最大值为．

7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

因为和所成角的余弦值为，

所以，解得，

所以，

平面的法向量，

所以与平面所成角的正弦值为．

8．棱长为的正方体的顶点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以为坐标原点，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则平面的一个法向量为，，

设平面的法向量为，因为平面与平面成角，

，可得，

设，

到的距离

，

顶点到平面的距离的最大值是．

9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则二面角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，，，，

∴，，

设为平面的一个法向量，

由，得，取，则，

取平面的一个法向量，

设二面角为，则，

∴．

10．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设的中心为，为的中点，过作，则为的中点，

∴是直线与平面所成角．

∵是边长为的等边三角形，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∴．

11．点，，在球表面上，，，，若球心到截面的距离为，则该球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，，及余弦定理得，，

所以，即是直角，是底面圆的直径，

过球心作平面，即为的中点，

所以，，

连接，即为半径，由勾股定理得，

所以球的体积为，

12．已知四边形为矩形，，为的中点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，为的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（    ）

①平面；

②三棱锥的体积最大值为；

③；

④一定存在某个位置，使．

A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④

【答案】B

【解析】①，设是的中点，折叠过程中是的中点，连接，

由于是的中点，所以是三角形的中位线，

所以，．

由于是的中点，所以，．

所以，，所以四边形是平行四边形，

所以，

由于平面，平面，所以平面，所以①正确；

②，由于是的中点，所以．

在折叠过程中，三角形的面积为定值，

当平面平面时，距离平面的距离最大．

过作，交于，连接，则．

当平面平面时，由于平面平面，

所以平面，，

则，则，

所以三棱锥体积的最大值为，

所以三棱锥体积的最大值为．所以②正确；

③，由①知，所以③正确；

④，由于，，，

所以．

若，，则平面，则，

根据折叠前后图象的对应关系可知，

与矛盾，所以④错误，

综上所述，正确的为①②③．

二、填空题．

13．已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是_______．

【答案】

【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，

解得，．

14．如图，四面体中，，平面平面，，，，则          ．

【答案】13

【解析】取的中点，连接．

因为，，，所以，所以．

因为，是的中点，所以，．

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面．

因为平面，所以．

在中，．

15．点､在以为直径的球的表面上，且，，，若球的表面积是，则异面直线和所成角的余弦值为       ．

【答案】

【解析】如图，取中点，连接，

∵，所以是的外心，则平面，

又，∴，

由，得，即，

又，∴，

分别是中点，∴，，，

以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，与平行的向量为，

，

∴异面直线和所成角的余弦值为．

16．已知在直角梯形中，，，，将直角梯形沿折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积为__________．

【答案】

【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示，

由条件可得在底面中，，．

取的中点，的中点，连，，则．

∵，∴，

∵平面平面，∴平面，∴．

又，，∴，

∴．

∴点为三棱锥外接球的球心，球半径为，

∴．