2023汕头市高三年级一模考试数学试卷及参考答案

2023年汕头市普通高考第一次模拟考试试题

数  学

注意事项：

1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.

4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷  选择题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 设全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票，如图，这枚邮票上印有4个复数，设其中的两个复数的积，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（    ）

A. 1450 B. 1490 C. 1540 D. 1580

（参考公式：）

4. 已知向量，，.若，则实数（    ）

A.  B. －3 C.  D. 3

5. 现将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，要求A、B相邻，且B、C不相邻，则不同的排列方式有（    ）种.

A. 192 B. 240 C. 120 D. 28

6. 已知点P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）

A. 6 B. 12 C.  D.

7. 已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图所示，函数的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，且的面积为，则以下结论正确的是（    ）

A. 点D的纵坐标为

B. 是函数的一个单调递增区间

C. 对任意，点都是函数图象的对称中心

D. 函数的图象可由函数图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到

10. 已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（    ）

A. 与关于直线对称

B. 若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9

C. 圆C的圆心在直线或直线上

D. 与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个

11. 如图，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则（    ）

A.   B.

C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为

12. 已知，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷 非选择题

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在的展开式中，的系数为______.

14. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为______.

15. 如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积______.

16. 过双曲线C：上的任意一点P，分别作双曲线两条渐近线的平行线，交两条渐近线于点M，N，若，则双曲线离心率的取值范围是______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

如图，在中，D是BC边上的一点，，.

（1）证明：；

（2）若D为靠近B的三等分点，，，，为纯角，求.

18.（本小题满分12分）

2023年1月14日，翘首以盼的汕头镇邦美食街开街啦！近年来，汕头多措并举，提升汕头美食品牌，推动潮汕菜产业做大做强，镇邦美食街的建成开街，是汕头美食产业的又一里程碑，同时“舌尖汕头”——汕头美食地图同步上线，以微信小程序的形式面向游客，并通过意见反馈功能收集游客满意度调查问卷.

（1）现将游客按年龄段分为老中青三个群体，通过问卷数据分析显示，老年群体中有56%的游客给予好评，中年群体有65%的游客给予好评，青年群体中有70%的游客给予好评，且老中青三个群体游客人数之比为，从这三个群体中随机抽取1名游客，求该游客给予好评的概率.

（2）镇邦美食街共有20多家餐饮单位进驻，为维护市场价格秩序，营造公平竞争良好环境，汕头市监管部门到镇邦美食街举办餐饮明码标价现场指导会，现针对明码标价指导会前、会后游客满意度进行问卷回访调查，统计了100名游客的数据，列出如下列联表：

请根据小概率值的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会是否有关联.

▲参考公式：，

19.（本小题满分12分）

已知为正项数列的前n项的乘积，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）.

20.（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，，，平面ABEF，，.

（1）已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行；

（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求该多面体ABCDEF的体积.

21.（本小题满分12分）

如图，已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为，的两条直线，与抛物线交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点.

（1）若且时，求面积的最小值；

（2）若，证明：直线MN过定点.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数在处取得极值，求a的值及函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求a的取值范围.