2022届山西省临汾市高三三模数学（文）试题含答案

临汾市2022年高考考前适应性训练考试（三）

一、选择题

1.已知集合，，则（   ）

A. B.

C. D.

答案：

D

解析：

【分析】

根据对数函数的单调性，结合解一元二次不等式的方法、集合交集的定义进行求解即可.

【详解】

因为，，所以，故选：D.

2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（   ）

A. B.

C. D.

答案：

A

解析：

【分析】

由题可得，再由复数除法法则即可求解.

【详解】

因为复数对应点的坐标为，所以，

所以.故选：A.

3.已知是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（   ）

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，，则 D.若，，则

答案：

B

解析：

【分析】

根据空间中的线面关系逐一判断即可.

【详解】

若，，则可以平行、相交，故A错误，

若，，则，故B正确，

由，，推不出，故C错误，

若，，则可以平行、相交、异面，故D错误，

故选：B.

4.已知命题：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（   ）

A.任意一个无理数，它的平方不是有理数

B.存在一个无理数，它的平方不是有理数

C.任意一个无理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方是无理数

答案：

A

解析：

【分析】

根据存在命题的否定的性质进行判断即可.

【详解】

因为存在命题的否定是全称命题，

所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，故选：A.

5.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（   ）

A. B.

C. D.

答案：

D

解析：

【分析】

利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.

【详解】

由，所以圆心坐标为，

因为直线的斜率为，

所以与直线垂直的直线的斜率为，

所以的方程为：，故选：D.

6.央视热播剧《人世间》，描述了年蜿蜒曲折中国家的发展和老百姓生活的磅礴变迁，其中良好家风的传承及流淌在人与人之间的良善真义，深深打动并温暖了观众之心，堪称一部当代中国的影像心灵史诗．某高中社团调查了名观众，将这名观众对该剧的评分绘制成了如图所示的频率分布直方图，则评分的中位数约为（   ）

A. B.

C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

中位数即估计频率在处的数值，据此计算即可.

【详解】

根据直方图可得，前个矩形块的面积为：

，于是中位数必然落在区间上，设中位数为，则，解得.故选：C.

7.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量的方向上的投影为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据平面加法的几何意义，结合三角形外心的性质、平面向量数量积的几何意义进行求解即可.

【详解】

由，

所以的外接圆圆心是边的中点，即是以为斜边的直角三角形，

因为，所以，在直角三角形中，

，即

因此向量在向量的方向上的投影为，故选：C.

8.我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从年起，将每年月日定为全国“防灾减灾日”．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯·里克林提出了关系式：，其中E为地震释放出的能量，为地震的里氏震级．已知年月日我国发生的汶川地震的里氏震级为级，年月日我国发生的九寨沟地震的里氏震级为级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的（   ）（参考数据：，）

A.倍 B.倍 C.倍 D.倍

答案：

C

解析：

【分析】

根据关系式，利用代入法，结合题中所给的参考数据进行求解即可.

【详解】

在中，令，得，

因此汶川地震释放的能量，

令，得，

因此九寨沟地震释放的能量，

所以汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的倍，

故选：C.

9.小王被某大学录取，在通知书接收当天，快递人员可能在之间把通知书送到小王家，小王在之间能回到家中，则小王当天到家后能当面签收通知书的概率为（   ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】

根据几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】

设快递人员到的时间为，小王到家的时间为，

可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为：

，

事件表示小王当天到家后能当面签收通知书，所构成的区域为，

如图所示：

正方形的面积为，

等腰直角三角形的面积为：，

所以小王当天到家后能当面签收通知书的概率为，故选：A.

10.已知，且，则（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】

化简，根据，得到，进一步求出答案.

【详解】

化简

∵

∴

∴()或(k∈Z)

∴()或()

又∵，∴，故选：B.

11.已知四边形为菱形，，，将其沿对角线折成四面体，使，若四面体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（   ）

A B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据菱形的性质结合已知可以判断四面体是正四面体，利用正四面体和球的性质进行求解即可.

【详解】

如图所示：

在菱形中，因为，，

所以是等边三角形，

因此在四面体中，因为，所以该四面体是正四面体，

设在底面的射影为，显然点是三角形的中心，

根据球和正四面体的对称性可知：

该四面体的外接球的球心在线段上，设该球的半径为，

在中，由正弦定理可知：，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，

，

因此该球的表面积为，故选：B.

12.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点分别在其左、右两支上，，为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

由条件结合双曲线的定义求，结合勾股定理求出的关系，由此可得离心率.

【详解】

因为，所以，又为线段的中点，

所以，

设，因为，为线段的中点，

所以，，

由双曲线定义可得，，

所以，，又，

所以，故，

所以，由，可得，

由已知，

所以，即，

所以，所以离心率，C正确；故选：C.

二、填空题

13.曲线在点处的切线方程为________.

答案：

解析：

【分析】

利用导数的几何意义，结合导数的运算、直线的点斜式方程进行求解即可.

【详解】

由，

所以在点处切线的斜率为，

因此切线方程为：，故答案为：.

14.若满足约束条件则的最大值为________.

答案：

解析：

【分析】

画出不等式组所表示的平面区域，根据直线斜率的公式进行求解即可.

【详解】

不等式组所表示的平面区域如下图所示：

代数式表示过不等式组所表示的平面区域内的点与原点的直线的斜率，

显然直线的斜率最大，解方程组，

所以，

故答案为：

15.在三棱锥中，，过中点的截面与都平行，则截面的周长为________.

答案：

解析：

【分析】

根据线面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可.

【详解】

设的中点分别为，连接，

根据三角形中位线定理，可得：，

，

所以有，因此四边形是平行四边形，

因为，平面，平面，

所以平面，

同理平面，

因此平行四边形的周长为，故答案为：.

16.已知的三个角的对边分别为，满足，则________.

答案：

解析：

【分析】

根据正弦定理实现边角转化，根据同角的三角函数关系式，结合两角和的正切公式进行求解即可.

【详解】

根据正弦定理，由，

所以，

因为，

所以，

因此有，

解得：（负值舍去），因此，

因此有（负值舍去），

故答案为：.

三、解答题

17.已知的三个角的对边分别为，且．

（1）求；

（2）若，设，求数列的前项和．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）由正弦定理化边为角，再化简整理即可求出；

（2）由正弦定理可得，求得，即可得出通项公式，即可求出.

【详解】

（1）由正弦定理得，

故，可得，

又因为，所以，所以，又因为，所以．

（2）由正弦定理得，所以，

又因为，则，，

所以

．

18.如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，是线段的中点，分别是线段上靠近的三等分点．

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可；

（2）利用三棱锥的体积等积性进行求解即可.

【详解】

（1）连接，交于点，连接，中，分别为的中点，所以，又因为平面，平面，

所以平面，同理：平面，因为，平面，，所以平面平面．

（2）记点到平面，平面的距离分别为，，，因为平面，，，所以，

在中，，

在中，，

同理，，又因为为中点，所以．

在中，，，

因为，所以．

19.我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线，其中为总体平均数，为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数小时．

（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过小时的概率；

（2）该品牌灯泡寿命超过小时的概率为．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过小时的概率”问题．利用计算器可以产生到十个随机数，我们用表示寿命超过小时，用表示寿命没有超过小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生组随机数

就相当于做了次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过小时的概率．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据正态分布曲线的性质，结合古典概型计算公式进行求解即可；

（2）根据随机数，结合古典概型计算公式进行求解即可

【详解】

（1）由题知平均数，所以每个灯泡寿命超过小时的概率都是，这个随机试验满足古典概型条件：有限性，等可能性．

设三个灯泡寿命超过小时分别为；

没有超过小时分别为，，．

则样本空间，

三个灯泡中恰有两个寿命超过小时的事件，

所以；

（2）组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过小时的有共计组，所以三个灯泡中恰有两个灯泡寿命超过小时的概率估计值．

20.已知函数，．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求在上的最小值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）利用导数求出的单调性即可；

（2），然后分、、、四种情况讨论求解即可.

【详解】

（1）当时，，．

故当，时，，故当时，．

则在，上单调递增，在上单调递减．

所以的极大值为，极小值为．

（2）因为，

所以，

①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以

②当a=3时，在上单调递增，．

③当时，在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，

所以．

④当时，在上单调递减，在上单调递增，所以．

综上

21.已知椭圆：，为的右焦点，且长轴长为短轴长的倍．

（1）求的方程；

（2）若不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率成等比数列，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据椭圆焦点的定义，结合已知和椭圆中的关系进行求解即可；

（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式和等比数列的性质进行求解即可.

【详解】

（1）由题设得，，所以的方程为．

（2）设，，由题可知直线的斜率一定存在，

设直线的方程为．

由可得，

所以，．．

由直线的斜率成等比数列，可得，

即，解得．

可得，，

所以．

四、选做题（2选1）

22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，将上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线．

（1）求的直角坐标方程；

（2）已知点，若为上任意一点，直线与的另一个交点为，当为线段的中点时，求的直角坐标．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）先求出的直角坐标方程，再由伸缩变换代入即可求得曲线的直角坐标方程；

（2）表示出，和．代入方程，即可解得.

【详解】

（1）因为曲线的极坐标方程为，

所以的直角坐标方程为．

设曲线上任意一点的坐标为，则由伸缩变换得到①

将①代入得，所以曲线的直角坐标方程为．

（2）因为为上任意一点，可设，因为为线段的中点，，

所以．又因为点也在上，所以，

解得，则，所以的直角坐标为或．

23.已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，使成立，求的取值范围．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据绝对值的性质，利用分类讨论思想进行求解即可；

（2）根据存在性的性质，利用常变量分离法，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】

（1）当时，，

当时，，恒成立，解得；

当时，，由，得，解得；

当时，，无解，综上所述，的解集为；

（2）当，时，．

由得，即．

当时，，所以．

若使成立，则只需，

而，

（当且仅当时等号成立），所以的取值范围为．