黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题

黑龙江省哈尔滨市第五中学2022-2023学年度高三下学期开学检测

数学试卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.定义集合运算：A⊙B={Z|Z=xy，x∈A，y∈B}.设集合A={-1，0，1}，B={sinα，cosα}，则集合A⊙B的所有元素之和为（    ）

A.1    B.0    C.-1    D.sinα+cosα

2.若复数1-2是关于x的方程x2-ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则|a+b|=（    ）

A.3    B.    C.    D.29

3.某地气象局统计，当地某日刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则该地在刮风天里，下雨的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F，G分别为AA1，D1C1，BC的中点，过E，F，G的平面截正方体的截面面积为（    ）

A.    B.    C.3    D.3

5.一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108.则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（    ）

一百零八塔全景

A.第5行，呈葫芦状    B.第6行，呈葫芦状

C.第7行，呈宝瓶状    D.第8行，呈宝瓶状

6.一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上.如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为（    ）

A.24    B.12    C.120    D.60

7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A.向右平移个单位长度    B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度    D.向左平移个单位长度

8.中，角的对边分别是，已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（    ）

A.f（x）·g（x）是偶函数    B.|f（x）|·g（x）是奇函数

C.f（x）·|g（x）|是奇函数    D.|f（x）·g（x）|是偶函数

10.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1=3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列命题正确的是（    ）

A.MN⊥A1M    B.MN⊥平面D1MC

C.线段BN长度的最大值为    D.三棱锥C1­A1D1M体积不变

11.已知曲线C的方程为，A（0，-3），B（0，3），D（-1，0），点P是C上的动点，直线AP与直线x=5交于点M，直线BP与直线x=5交于点N，则△DMN的面积可能为（    ）

A.73    B.76    C.68    D.72

12.若（x+3）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，x∈R，则下列结论中正确的有（    ）

A.a0=28    B.

C.a1+a2+…+a8=38    D.（a0+a2+a4+a6+a8）2-（a1+a3+a5+a7）2=38

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数g（x）=x2f（x-1），则函数g（x）的单调递减区间是________.

14.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是，则不等式x2-bx-a<0的解集为________.

15.已知向量.若，则

16.早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也.已知O为坐标原点，P（-1，）.若⊙O，⊙P的“长”分别为1，r，且两圆相切，则r=________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足与.

（1）若b=c，求A的值；

（2）求B的最大值.

18.（12分）已知数列{an}中，a1=2，n（an+1-an）=an+1.

（1）求证：数列是常数列；

（2）令bn=（-1）nan，Sn为数列{bn}的前n项和，求使得Sn≤-99的n的最小值.

19.（12分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.

（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

20.（12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，ABCD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点.

（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（2）若二面角P­AC­E的余弦值为，求a的值；

（3）在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

21.（12分）已知椭圆C的方程为，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于-1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为.

（1）证明：直线BD的斜率为定值；

（2）求△ABD面积的最大值.

22.（12分）已知函数.

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）若存在x0>1，当x∈（1，x0）时，，求实数k的取值范围.

答案及解析

1.B  解析：因为x∈A，所以x的可能取值为-1，0，1.同理，y的可能取值为sinα，cosα，所以xy的所有可能取值为（重复的只列举一次）-sinα，0，sinα，-cosα，cosα，所以所有元素之和为0.

2.C  解析：由题意可知，（1-2i）2-a（1-2i）+b=0，所以b-a-3+（2a-4）i=0，故a=2，b=5.则|a+bi|=|2+5i|=.

3.B  解析：由题意，记“该地区刮风”为事件A，“该地区下雨”为事件B，

则P（A）=，P（AB）=，所以该地在刮风天里，下雨的概率为.

4.C  解析：如图，分析正方体结构可以得知，该截面为一个边长为的正六边形，此正六边形分成6个全等的三角形，所以其面积为.故选C.

5.C  解析：因为1+3+3+5+5+7=24，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状.故选C.

6.A  解析：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，有种不同放法.故选A.

7.A  解析：因为

所以将函数的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象.

8.C  解析：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA=2b2（1-cosA）.因为a2=2b2（1-sinA），所以cosA=sinA.因为cosA≠0，所以tanA=1.因为A∈（0，π），所以.故选C.

9.CD  解析：对于A，f（-x）·g（-x）=-f（x）·g（x），函数是奇函数，故A错误；对于B，|f（-x）|·g（-x）=|f（x）|·g（x），函数是偶函数，故B错误；对于C，f（-x）·|g（-x）|=-f（x）·|g（x）|，函数是奇函数，故C正确；对于D，|f（-x）·g（-x）|=|f（x）·g（x）|，函数是偶函数，故D正确.

10.ACD  解析：在正方体中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：

A1（3，0，3），D1（0，0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，y，0），N（3，3，z），，

，而则，

对于A选项：，则，，A正确；

对于B选项：，，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；

对于C选项：，则线段BN长度，当且仅当时取“=”，C正确；

对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而，

三棱锥体积为定值，即D正确.故选：ACD

11.ABD  解析：设P（x0，y0），则.设kPA=k（k>0），则.

直线AP的方程为y=kx-3，则点M的坐标为（5，5k-3），

直线BP的方程为，则点N的坐标为.

所以，

当且仅当，即k=3时等号成立.从而△DMN面积的最小值为.故选ABD.

12.AD  解析：.

对于A，令x=-1，则（-1+3）8=28=a0，故A正确.

对于B，，而，故B错误.

对于C，令x=0，则38=a0+a1+a2+…+a8，于是a1+a2+…+a8=38-a0=38-28，故C错误.

对于D，令x=-2，则1=a0-a1+a2-…+a8.因为a0+a1+a2+…+a8=38，所以（a0+a2+a4+a6+a8）2-（a1+a3+a5+a7）2=（a0+a1+a2+…+a8）（a0-a1+a2-…+a8）=38，故D正确.故选AD.

13.[0,1)  解析：由题意知

函数的图象为如图所示的实线部分.根据图象，g（x）的单调递减区间是[0，1）.

14.(2,3)  解析：由题意知是方程ax2-bx-1=0的两根.所以，由根与系数的关系得

.

解得所以不等式x2-bx-a<0，即为x2-5x+6<0，易得解集为（2，3）.

15.  解析：，所以，解得，所以=.

16.1或3  解析：由题意，O为坐标原点，，

根据圆的定义可知，⊙O的圆心为O（0，0），半径为1，⊙P的圆心为，半径为r，因为两圆相切，则有|PO|=r+1或|PO|=r-1，

则有r+1=2或r-1=2，

解得r=1或3.

17.解：（1）因为，所以，即，所以.因为，所以.

因为，所以.

（2）因为，所以，即，

，当且仅当时，等号成立.

因为，所以的最大值为.

18.（1）证明：由n（an+1-an）=an+1得：nan+1=（n+1）·an+1，即.

所以，即有，

所以数列是常数列.

（2）解：由（1）知：，所以an=3n-1，所以bn=（-1）n（3n-1），

即

所以当n为偶数时，Sn=（-2+5）+（-8+11）+…+[-（3n-4）+（3n-1）]=，显然Sn≤-99无解；

当n为奇数时，，令Sn≤-99，解得n≥66.

结合n为奇数得n的最小值为67.

所以n的最小值为67.

19.解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望.

（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）

=P（Y=0）P（Z=1）+P（Y=1）P（Z=0）

所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

20.（1）证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.

因为AB=4，AD=CD=2，所以，

取AB的中点为N，则可得CNAD，则CN⊥AB，

所以，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC.

又BC∩PC=C，所以AC⊥平面PBC.

因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.

（2）解：以点C为原点，分别为x轴､y轴､z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，-2，0），设P（0，0，2a）（a>0），则E（1，-1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，-1，a）.

设=（x0，y0，z0）为平面PAC的法向量，

则，即

取=（1，-1，0）.

设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即

取x=a，y=-a，z=-2，则=（a，-a，-2）.

依题意，则a=2.

21.（1）证明：设D（x1，y1），B（x2，y2），

则A（-x1，-y1），直线BD的斜率，由两式相减得.

因为，

所以，

故直线BD的斜率为定值.

（2）解：连接OB（图略），因为A，D关于原点对称，

所以S△ABD=2S△OBD，由（1）可知BD的斜率k=，设BD的方程为y=x+t.因为D在第三象限，

所以且t≠0，

O到BD的距离.

由整理得3x2+4tx+4t2-8=0，

Δ=（4t）2-4×3×（4t2-8）>0（-<t<1且t≠0），

所以，，

所以

所以当且仅当时，取得最大值.

22.解：（1）函数的定义域为，

令，解得.

所以函数f（x）的单调递减区间为[1，+∞）.

（2）由（1）可知，当x>1时，f（x）<f（1）=-，

所以当k=1时，f（x）+g（x）<-+1=，即不存在x0>1满足题意；

当k>1时，由f（x）+g（x）>，得f（x）>（k-1）x-k+，

对于x>1，有（k-1）x-k+=（k-1）（x-1）->-.又f（x）<-，所以不存在x0>1满足题意；

当k<1时，令，

则，

令F′（x）=0，得，

当x∈（1，x2）时，F′（x）>0，所以F（x）在（1，x2）内单调递增，

此时F（x）>F（1）=，即f（x）+g（x）>，

所以存在x0>1满足题意.

综上，实数k的取值范围是（-∞，1）.