2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题（教师版）

这是一份2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题（教师版），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试题
一、选择题（每题3分，满分30分）
1. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．
【详解】，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【解题思路】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：∵ 是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴不符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，是中心对称图形
∴符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
故选C．
【解题思路】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．
3. 学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ）
A. 181 B. 175 C. 176 D. 175.5
【答案】D
【详解】
【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．
【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，
∴这6个数据的中位数为，故D正确．
故选：D．
【解题思路】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个数是求中间两个数的平均数．
4. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【详解】
【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．
【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有个．
故选：B．
【解题思路】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A. 8 B. 10 C. 7 D. 9
【答案】B
【详解】
【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故选B．
【解题思路】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
6. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】C
【详解】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故选：C．
【解题思路】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【详解】
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．
【解题思路】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）

A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【详解】
【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴，AB∥OD，
∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．

【解题思路】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
9. 如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）

A 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
【答案】A
【详解】
【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．
【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，
故选：A．

【解题思路】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）


A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
【答案】B
【详解】
【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：
①通过证明得到EC=FD，再证明得到∠EAC=∠FBD，从而证明∠BPQ=∠AOQ=90°，即；
②通过等弦对等角可证明；
③通过正切定义得，利用合比性质变形得到，再通过证明得到，代入前式得，最后根据三角形面积公式得到，整体代入即可证得结论正确；
④作EG⊥AC于点G可得EGBO，根据，设正方形边长为5a，分别求出EG、AC、CG的长，可求出，结论错误；
⑤将四边形OECF的面积分割成两个三角形面积，利用，可证明S四边形OECF=S△COE+S△COF= S△DOF+S△COF =S△COD即可证明结论正确．
【详解】①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF与△COE中

∴
∴EC=FD
∵在△EAC与△FBD中
∴
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①正确；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴点P、O在以AB为直径的圆上
∴AO是该圆的弦
∴
所以②正确；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以③正确；
④作EG⊥AC于点G，则EGBO，
∴
设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC=，
若，则，
∴
∴
∴
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=
∴
所以④错误；
⑤∵，S四边形OECF=S△COE+S△COF
∴S四边形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD=
∴S四边形OECF=
所以⑤正确；
综上，①②③⑤正确，④错误，
故选 B

【解题思路】
本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11. 我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．
【答案】
【详解】
【分析】把亿写成，最后统一写成的形式即可．
【详解】解：由题意得：1.89亿=，
故答案为：．
【解题思路】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．
12. 函数中自变量的取值范围是______．
【答案】
【详解】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴；
故答案为：．
【解题思路】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．
13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件________，使．


【答案】OB=OD（答案不唯一）
【详解】
【分析】根据SAS添加OB=OD即可
【详解】解：添加OB=OD，
在△AOB和△COD中，
，
∴（SAS）
故答案为OB=OD（答案不唯一）
【解题思路】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．
14. 在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．
【答案】
【详解】
【分析】利用概率公式计算即可．
【详解】∵ 不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，
∴摸到红球的概率是，
故答案为：．
【解题思路】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
15. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】##
【详解】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组的解集为，
．
故答案为：．
【解题思路】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16. 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．

【答案】
【详解】
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，



，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【解题思路】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17. 若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm．
【答案】
【详解】
【分析】由于圆锥的母线长为5cm，侧面展开图是圆心角为 120°扇形，设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，然后利用弧长公式即可得到关于r的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设圆锥底面半径为rcm，
则圆锥底面周长为：cm，
∴侧面展开图的弧长为：cm，
∴，
解得：r=，
故答案：．
【解题思路】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．

【答案】
【详解】
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，

∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB=，
∴OA=，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=，
∴∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEC=∠CAE=15°，
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案为：．
【解题思路】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF是解题的关键．
19. 在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为________．
【答案】或或6
【详解】
【分析】分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，


∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，


∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴，即，
解得：，
∴；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，


根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴，即，
解得：，即；
综上所述，BP的长为或或6．
故答案为：或或6
【解题思路】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．

【答案】
【详解】
【分析】先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶……∶= ，即可求解．
【详解】解：当x=1时，，
∴点，
∴，
∴，
∵根据题意得：，
∴∽∽∽……∽，
∴∶∶∶……∶= OA12∶OA22∶OA32……∶OAn2，
∵，，，……，
∴，，……，
∴∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案为：．
【解题思路】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．
三、解答题（满分60分）
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a值，然后把a值代入化简式计算即可．
【详解】解：原式

，
当时，
原式
【解题思路】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．


（1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
【答案】（1）见详解；
（2）见详解；
（3）点旋转到点所经过的路径长为
【详解】
【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；
（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转可得点旋转到点为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示△A1B1C1即为所求，


；
【小问2详解】
如图所示△A2B2C2即为所求，；
【小问3详解】
∵
∴点旋转到点所经过的路径长为．
【解题思路】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键．
23. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的详解式；
（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，，
【详解】
【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的详解式．
（2）将详解式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的详解式为：．
【小问2详解】
解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
【解题思路】本题考查了待定系数法求二次函数详解式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组： B组： C组： D组： E组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：


（1）本次共调查了_______名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
【答案】（1）100 （2）补全统计图见详解
（3）D组所对应的扇形圆心角度数为
（4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人
【详解】
【分析】（1）根据统计图中组的人数与占比，计算求解即可；
（2）根据组人数占比为，求出组人数为人，然后作差求出组人数，最后补全统计图即可；
（3）根据组人数的占比乘以计算求解即可；
（4）根据两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由统计图可知，本次共调查了（人），
故答案为：100．
【小问2详解】
解：由统计图可知，组人数占比为，
∴组人数为（人），
∴组人数为（人），
∴补全统计图如图所示

【小问3详解】
解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为，
∴D组所对应的扇形圆心角度数为．
【小问4详解】
解：由题意知，（人）
∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．
【解题思路】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
25. 为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．


（1）甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数详解式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【答案】（1）100 60
（2）
（3）3，6.3，9.1
【详解】
【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h的路程为500km，乙车5h的路程为300km，即可确定各自的速度；
（2）设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数详解式；
（3）乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．
【小问1详解】
解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲速度为：500÷5=100km/h；
乙车5h的路程为300km，
∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；
【小问2详解】
设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得，
解得
∴y与x的函数详解式为；
【小问3详解】
解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当0 100t-60t=120，
解得：t=3；
当5 当5.5 500-100（t-5.5）-300=120，
解得：t=6.3；
当8 100（t-8）=120，
解得：t=9.2，不符合题意，舍去；
当9 100×（9-8）+100（t-9）+100（t-9）=120，
解得：t=9.1；
综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.1h时，两车之间的距离为120km．
【解题思路】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键．
26. 和都是等边三角形．

（1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
（2）将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】（1）证明见详解
（2）图②结论：，证明见详解
（3）图③结论：
【详解】
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；
（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；
（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：．
【小问1详解】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
【小问2详解】
解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，

∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，

∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【解题思路】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27. 学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
（2）有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
（3）方案三需要费用最少，最少费用是550元
【详解】
【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组，
解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组，解得：，由此即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得，结合函数图像的性质，可知w随m的增大而减小，即当时．
【小问1详解】
解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
【小问2详解】
根据题意，得，
解得，
∵m整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
【小问3详解】
设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最小值，即w（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【解题思路】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．

（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点C坐标为
（2）
（3）存在点P或或，使是等腰三角形
【详解】
【分析】（1）先求出方程的解，可得，，再由，可得，然后根据四边形ABCD是平行四边形，可得CD=7，，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当时，当时，过点A作交CB的延长线于点F，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F；当时；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，即可求解．
【小问1详解】
解：，解得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴点C坐标为；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，

∴，
设PC=PM=a，则PD=7-a，，
∵PF2+FM2=PM2，
∴，解得：，
∴，
∴此时点P；
当时，

∴，
∴此时点P；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则，

∴，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P；
综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形
【解题思路】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．