2023年中考数学一轮大单元复习2.1方程（组）定义及解法过关卷(含答案)

2.1方程（组）定义及解法过关卷

注意事项：

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2023秋·天津和平·七年级天津市第二南开中学校考期末）下列变形符合等式基本性质的是（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据等式的性质依次判断即可得到答案．

【详解】解：A：若，当时，，故选项A不符合题意；

B：若，则，故选项B不符合题意；

C：，则，故选项C符合题意；

D：，则，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟知等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立，等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．

2．（2022秋·山东烟台·六年级统考期末）某同学解方程时，把的系数看错了，解得，他把的系数看成了（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】把代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．

【详解】把代入方程得：，

，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，设出未知数，把代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．

3．（2022秋·全国·八年级专题练习）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（  ）

A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3

【答案】D

【分析】根据加减消元法逐项判断即可．

【详解】解：用加减消元法解二元一次方程组时，

消去x；

消去y；

消去x；

消去y，

则无法消元的是．

故选：D．

【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．

4．（2023秋·山东济宁·六年级济宁市第十五中学校考期末）如果关于x的方程与方程的解互为相反数，那么（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由关于x的方程与方程的解互为相反数，可得出关于x的方程的解为，将代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．

【详解】解：方程的解为，

∵关于x的方程与方程的解互为相反数，

∴关于x的方程的解为．

将代入方程得：，

解得：，

∴m的值为．

故选：C．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键．

5．（2022秋·四川达州·九年级校考期中）如图是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为(   )

输入x→→→平方→→输出

A．1或3 B．4或 C．4或2 D．1或2

【答案】C

【分析】根据流程程序列方程求解即可得到答案．

【详解】解：由题意可得，

，

解得：，，

故选C．

【点睛】本题考查根据流程图求输入字母的值与解一元二次方程，解题的关键是读懂流程图，列出相应方程．

6．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可．

【详解】解：由题意可得，

，

解得，

故选C．

【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程．

7．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）小元设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则二次函数的最值为（  ）

A．-1 B．1 C．4 D．9

【答案】B

【分析】根据放入实数对得到列式计算即可求出a值，从而求出二次函数的最值．

【详解】解：∵将实数对放入其中，得到实数，

∴，

解得：，

∴，

∴最值为，

故选B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，二次函数的最值，准确计算是解题的关键．

8．（2022秋·全国·八年级专题练习）对于两个不相等的实数a．b，我们规定符号表示a，b中较小的值，如．按照这个规定，方程（）的解为（  ）

A．或2 B．2 C． D．无解

【答案】D

【分析】根据新定义运算的规定，先得分式方程再求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

经检验，是方程的根．

∵，

故不是方程的根，

故原方程无解．

故选：D．

【点睛】本题考查了解分式方程，新定义运算等知识，理解规定符号的意义是解答本题的关键．

9．（重庆市江津区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：①；②若，则；③的解为；④函数与轴交于和．其中正确的个数是（  ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据新运算，判断各项即可．

【详解】解：，

，故①正确；

，，

，

，故②正确：

当时，，，即，解得，

当时，，，即，解得，

故③错误；

，

令，即，该方程无解，

该函数与轴没有交点，

故④错误；

故选：C．

【点睛】本题考查了新定义下的运算，解一元二次方程，解题的关键在于弄清新运算的运算法则，注意分情况讨论．

10．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）关于的不等式组有解且至多有5个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是（    ）

A．2 B．0 C．4 D．不存在符合条件的

【答案】D

【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多5个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值．

【详解】解：，

解不等式①得：，

∴，

∵不等式组有解且至多5个整数解，

∴，

∴，

分式方程两边都乘以得：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵方程有整数解，

∴，，

解得：，

∵，，

∴m无解，

故选：D．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，考核学生的计算能力，解分式方程时一定要检验．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）当________时，一元二次方程（m为常数）有两个相等的实数根．

【答案】

【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到∆，计算即可．

【详解】解：∵一元二次方程（m为常数）有两个相等的实数根，

∴∆，即，

解得，

故答案为：．

【点睛】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．

12．（2023秋·山东菏泽·六年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考期末），那么___________

【答案】420

【分析】根据等式的性质，即可得到答案．

【详解】解：，

，

，

，

故答案为：420．

【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是掌握等式两边同时加上、或减去、或乘上、或除以同一个不为0的数，等式两边依然相等．

13．（2022春·北京顺义·八年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为，则______，______．

【答案】       

【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，求出的值即可得出答案．

【详解】解：，

，

，

，

则，

故答案为：，．

【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

14．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）已知二元一次方程组，则_____．

【答案】

【分析】将两式相减，直接得出的值即可．

【详解】解：，

得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是把看作一个整体，两式相减直接得到的值．

15．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）如果关于的分式方程无解，则______．

【答案】或1．

【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，分为整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行分析即可得到答案．

【详解】解：方程两边同乘得：，

整理得：，

①当整式方程无解时：，解得：，

②当分式方程有增根时：，解得：或，

时，整式方程无解，

时，，解得：，

综上可知，关于的分式方程无解，的值为或1，

故答案为：或1．

【点睛】本题考查了分式方程无解时求参数的值，解题关键是熟练掌握分式方程无解有两种情况：整式方程无解或分式方程有增根．

16．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．

（1）若取，卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为______．

（2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为______．

【答案】          B和C

【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可解得；

（2）把解代入卡片逐项验证即可．

【详解】（1）解：

得

，

把代入①得

，

解得；

（2）把代入，，，，五张卡片中，

可得，，不成立，

代入B得：，成立，

代入C得：，成立，

故答案为：B和C．

【点睛】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟记加减消元法解方程组．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2023秋·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）关于x、y的二元一次方程组的解为，求m、n的值．

【答案】m与n的值分别为2、1．

【分析】把x与y的值代入方程组，求出m与n的值即可．

【详解】解：把代入方程组得：，

①×3+②得：，

解得：，

把代入①得：，

则m与n的值分别为2、1．

【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

18．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）解下列方程：

(1)（配方法）

(2)

【答案】(1)，．

(2)，．

【分析】（1）先方程都加得：，可得，再利用直接开平方法解方程即可；

（2）先整理方程可得，再利用因式分解的方法解方程即可．

【详解】（1）解：，

两边都加得：，

∴，

∴或，

解得：，．

（2），

整理得：，

∴，

∴或，

解得：，．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．

19．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根．

(1)m为何值时，四边形是菱形？

(2)若的长为3，求的周长．

【答案】(1)

(2)8

【分析】对于（1），根据菱形的性质可知方程有2个相等的实数根，由根的判别式求出m；

对于（2），由的长为3，可知3是方程的一个根，代入方程求出m，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长．

【详解】（1）解：∵平行四边形是菱形，

∴，

∴方程有两个相等的实数根，

∴，

∴＝0，  

当时，四边形是菱形；

（2）∵，的长是方程的两个实数根，的长为3，

∴，3是方程的一个根，

∴，

解得．

∴，

∴，

即平行四边形的周长为8．

【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，综合运用各知识点是解答本题的关键．

20．（重庆市江津区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）若有理数，满足，则称“，”为“等效有理数对”，如：“，”，因为，所以“，”是“等效有理数对”．

(1)通过计算判断“，”是不是“等效有理数对”；

(2)若“，”是“等效有理数对”，求的值；

(3)已知“，”是“等效有理数对”，求代数式的值．

【答案】(1)是

(2)

(3)12

【分析】（1）根据“等效有理数对”的含义直接计算验证即可；

（2）根据“等效有理数对”的含义建立方程，再解方程即可；

（3）由新定义运算可得：，再结合添括号，再整体代入求解代数式的值即可．

【详解】（1）解：

，是“等效有理数对”．

（2）由题意得 ，

解得

（3）∵，是等效有理数对

，

，

∴

．

【点睛】本题考查的是新定义运算，一元一次方程的应用，求解代数式的值，添括号的应用，理解新定义的含义是解本题的关键．

21．（2022秋·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期末）已知关于的分式方程．

(1)当时，求方程的解；

(2)如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；

【答案】(1)

(2)且

【分析】（1）将代入得出关于x的分式方程，然后解方程即可；

（2）先用a表示出分式方程的解，根据分式方程的解为正数列出关于a的不等式，同时注意，求出a的范围即可．

【详解】（1）解：把代入得：

，

方程两边同乘得：，

去括号得：，

移项合并同类项得：，

未知数系数化为1得：，

检验：把代入得：，

∴原方程的解．

（2）解：，

方程两边乘得：，

去括号得：，

移项合并同类项得：，

未知数系数化为1得：，

∵分式方程的解为正数，

∴，

解得：，

∵，即，

∴，

解得：，

∴的取值范围是：且．

【点睛】本题主要考查了解分式方程，已知分式方程解的情况求参数，解题的关键是准确计算，注意最后要对方程的解检验．

22．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题：

(1)填空：因为+           ；所以当_______时，代数式有最          （填“大”或“小”）值，这个最值为          ；

(2)比较代数式与的大小．

【答案】(1)，，，小，

(2)

【详解】（1）∵

∴时，代数式有最小值，这个最小值为；

故答案为：，，，小，

（2）

∵，

∴，

∴

【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小．

23．（2022春·北京·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点分别为，，，．对该长方形及其内部的每一个点都进行如下操作：把每个点的横坐标都乘以同一个实数，纵坐标都乘以，再将得到的点向左平移（）个单位，向上平移2个单位，得到长方形及其内部的点，其中点，，，的对应点分别为，，，．

(1)点的横坐标为___________（用含，的式子表示）．

(2)点的坐标为，点的坐标为，

①求，的值；

②在长方形内部和边界中是否存在点进行上述操作后，得到的对应点仍然在长方形内部和边界，如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①，；②不存在，理由见解析

【分析】（1）根据平移的性质得出答案；

（2）①根据平移规律得到：，，联立方程组，求解；②可知无论取何值，点一定落在上．

【详解】（1）解：，

即点的横坐标为；

故答案为：

（2）解：①由，可得①，

由，可得②，

由①，②得，

解得，

，；

②不存在．

理由：根据题意，得．

可知无论取何值，点一定落在上．

所以不存在满足题意的值．

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，坐标与图形变化—平移，二元一次方程组的解法解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题．