新高考数学一轮复习讲义专题突破3第2课时数列的综合问题(2份打包，解析版+原卷版)

第2课时　数列的综合问题

题型一　数列与函数

例1　数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N＋，且a1，a2＋5,19成等差数列.

(1)求a1的值；

(2)证明为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(3)设bn＝log3(an＋2n)，若对任意的n∈N＋，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围.

跟踪训练1　(2018·葫芦岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1,2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2a2n＋1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn≤4n2＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围.

例2　已知数列{an}中，a1＝，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2).

(1)求证：数列是等差数列；

(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<1.

跟踪训练2　已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.

题型三　数列与数学文化

例3　我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.”(　　)

A.6斤  B.7斤  C.8斤  D.9斤

跟踪训练3　中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{an}的前n项和Sn＝n2，n∈N＋，等比数列{bn}满足b1＝a1＋a2，b2＝a3＋a4，则b3等于(　　)

A.4  B.5  C.9  D.16

1.(2018·包头模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝－an＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若f(x)＝，设bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，求数列的前n项和Tn.

2.已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝0，其前n项和为Sn，且a2＋2，S3，S4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn－2n<.

3.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n，0)，且f′(0)＝2n，n∈N＋，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

4.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.

(1)求数列{xn}的通项公式；

(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.

5.(2019·盘锦模拟)若正项数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，点P(，Sn＋1)在曲线y＝(x＋1)2上.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)设bn＝，Tn表示数列{bn}的前n项和，若Tn≥a恒成立，求Tn及实数a的取值范围.

6.已知各项均不相等的等差数列{an}的前三项和为9，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项.

(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；

(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn＝，求证：cn＋1>cn(n∈N＋).