2023年皖云吉黑四省普通高等学校招生考试适应性能力测试数学试卷及参考答案

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2023年皖云吉黑四省普通高等学校招生考试适应性能力测试数  学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设z＝1＋i，则－i＝A．iB．－iC．1D．－12．设集合A＝{2，3，－2a－3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}．若B⊆A，A∩C＝{2}，则a＝A．－3B．－1C．1D．33．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为A．B．C．D．4．平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b＝A．(－3，－4)B．(4，3)C．(－4，3)D．(－4，－3)5．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是A．B．C．D．6．三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB＝3，BD＝1，则该三棱锥体积的最大值为A．2B．C．1D．7．设函数f (x)，g (x)在R的导函数存在，且f ′(x)＜g′(x)，则当x∈(a，b)时A．f (x)＜g (x)B．f (x)＞g (x)C．f (x)＋g (a)＜g (x)＋f (a)D．f (x)＋g (b)＜g (x)＋f (b)8．已知a，b，c满足a＝(＋)，c＝(－)，则A．|a－c|≥|b－c|，|a－b|≥|b－c|B．|a－c|≥|b－c|，|a－b|≤|b－c|C．|a－c|≤|b－c|，|a－b|≥|b－c|D．|a－c|≤|b－c|，|a－b|≤|b－c|二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知f (x)是定义在R上的偶函数，g (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g (x)在(－ω，0]单调递减，则A．f (f (1))＜f (f (2))B．f (g (1))＜f (g (2))C．g (f (1))＜g (f (2))D．g (g (1))＜g (g (2))10．已知平面α∩平面β＝l，B，D是l上两点，直线AB⊂且AB∩l＝B，直线CD⊂β且CD∩l＝D．下列结论中，错误的有A．若AB⊥l，CD⊥l，且AB＝CD，则ABCD是平行四边形B．若M是AB中点，N是CD中点，则MN//ACC．若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BDD．直线AB，CD所成角的大小与二面角议α－l－β的大小相等11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为A．(cos，sin)B．(－cos，－sin)C．(cos，－sin)D．(－cos，sin)12．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB．记α＝∠AOB，β＝∠AOC，γ＝∠BOD，δ＝∠COD，则A．sinβ＝sinγcosδB．cosβ＝cosγcosδC．sinα＝D．cosα＝     三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为_______．(若X~N(μ，)，则P{|X－μ|＜2σ}＝0.9545) 14．若P，Q分别是抛物线＝y与圆＋＝1上的点，则|PQ|的最小值为_______． 15．数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”与“密率”．它们可用“调日法”得到：称小于3．1415926的近似值为弱率，大于3．1415927的近似值为强率．由＜π＜，取3为弱率，4为强率，得＝＝，故为强率，与上一次的弱率3计算得＝＝，故为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推．已知＝，则m＝_______；＝_______．16．右图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按(2，2)将导致(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)改变状态．如果要求只改变(1，1)的状态，则需按开关的最少次数为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，AB＝AD，∠BAD＝60º．（1）记圆柱的体积为，四棱锥P－ABCD的体积为，求；（2）设点F在线段AP上，PA＝4PF，PC＝4CE，求二面角F－CD－P的余弦值． 18．（12分）已知函数f (x)＝sin(ωx+φ)在区间(，)单调，其中ω为正整数，|φ|＜，且f ()＝f ()．（1）求y＝f (x)图像的一条对称轴；（2）若f (π)＝，求φ． 19．（12分）记数列{}的前n项和为，且＝1，＝(n≥2)．（1）求数列{}的通项公式；（2）设m为整数，且对任意n∈，m≥＋＋…＋，求m的最小值． 20．（12分）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．（1）若N＝5000，求X的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X＝15)最大的N的值作为N的估计值)．  21．（12分）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点A(4，3)，且焦距为10．（1）求C的方程；（2）已知点B(4，－3)，D(2，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，G，H两点．证明：＝．  22．（12分）椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线C＝{(x，y)|＝＋ax＋b，4＋27＝0}．P∈C关于x轴的对称点记为．C在点P(x，y)(y≠0)处的切线是指曲线y＝±在点P处的切线．定义“⊕”运算满足：①若P∈C，Q∈C，且直线PQ与C有第三个交点R，则P⊕Q＝；②若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，则P⊕Q＝；③若P∈C，规定P⊕＝，且P⊕＝⊕P＝P．（1）当4＋27＝0时，讨论函数h(x)＝＋ax＋b零点的个数；（2）已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，证明：P⊕P＝；（3）已知P(，)∈C，Q(，)∈C，且直线PQ与C有第三个交点，求P⊕Q的坐标．参考公式：－＝(m－n)(＋mn＋)   2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性能力测试数学试题评分参考一、选择题1．A     2．B     3．A     4．D5．C    6．D     7．C     8．B二、选择题9．BD     10．ABD    11．ABD    12．ACD三、填空题13．0.5            14．15．6， (第一空2 分，第二空3 分)    16．5四、解答题17．解：（1）由题设得．于是，．所以．                          ……4分（2）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）和题设得，所以，，．设平面的法向量，则即可取．设平面的法向量，则即可取．所以．因此二面角的余弦值为．18．解：（1）由题设，的最小正周期．又因为，所以为图像的一条对称轴．（2）由（1）知，故，由，得或3．由为的对称轴，所以．因为，所以或．若，则，即．不存在整数，使得或3．若，则，即．不存在整数，使得或3．当时，．此时，由，得．19．解：（1）由题设可得．当时，，故．故数列的通项公式为（2）设，则，当时，，故．于是．整理可得．故，又．所以符合题设条件的m的最小值为7．20．解：（1）依题意X服从超几何分布，且，故．（2）当时，，当时，，记，则．由当且仅当，知当时，；当时，，故时最大，所以N的估计值为6666．21．解：（1）由已知得，故．所以C的方程为．（2）设，则，．直线．由得，所以，．．所以，即．22．解：（1）由题设可知，有，解得，解得．当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增。当，所以有2个零点．当，所以有2个零点．当，有，则有1个零点．（2）因为为C在点P处的切线，且，所以，，由题设可知．，所以，故．（3）直线的斜率，设与C的第三个交点为，则，代入得，代入得，同理可得，两式相减得，因此的坐标为．