【备考2023】高考物理计算题专项特训学案——专题08 动量定理和动量守恒定律 （原卷版+解析版）

专题08 动量定理和动量守恒定律

1.动量：；（动量是矢量，它的方向与速度方向相同）

2.动量与动能关系式：或；

3.冲量：；

4.动量定理：；

5.动量守恒定律：，，；

在解有关动量定理和动量守恒定律的计算题时：

首先选取研究对象，一般情况下可选取单个物体，也可以选取两个或多个物体组成的系统为研究对象；

其次，在研究过程中，要选定正方向，进而分析运动的初、末状态；

再次，分段或全程对研究对象进行受力分析，针对系统的受力分析，要弄清系统的内力和外力，判断其是否满足动量守恒条件。

最后，根据动量定理或动量守恒定律，列出方程求解。

一、动量定理

1.动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统。对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力。系统内力的作用不改变整个系统的总动量。
2.用牛顿第二定律和运动学公式能求解恒力作用下的匀变速直线运动的间题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。
　　但是，动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力。对于变力，动量定理中的F应当理解为变力在作用时间内的平均值。
3.用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定哪个量变化搞清楚。

4.应用求变力的冲量：如果物体受到变力作用，则不直接用求变力的冲量，这时可以求出该力作用下的物体动量的变化，等效代换变力的冲量I。
5.应用求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：曲线运动中物体速度方向时刻在改变，求动量变化需要应用矢量运算方法，比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。

二、应用动量守恒定律列方程时应注意以下四点
1.矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程。对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，凡是与选取正方向相同的动量为正，相反为负。若方向未知，可设正方向列动量守恒方程，通过解得结果的正负，判定未知量的方向。
2.瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量恒定。列方程时，等号左侧是作用前(或某一时刻)各物体的动量和，等号右侧是作用后(或另一时刻)各物体的动量和。不同时刻的动量不能相加。
3.相对性：由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以地面为参考系。
4.普适性：它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，对微观粒子组成的系统也适用。
　　如果相互作用的物体所受外力之和不为零，外力也不远小于内力，系统总动量就不守恒，也不能近似认为守恒，但是，只要在某一方向上合外力的分量为零，或者某一方向上的外力远小于内力，那么在这一方向上系统的动量守恒或近似守恒。

三、平均动量守恒  
　　若系统在全过程中的动量守恒(包括单方向动量守恒)，则这一系统在全过程中的平均动量也必守恒，如果系统是由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，则由动量守恒定律， ，得推论：。使用时应明确必须是相对同一参照物位移的大小。常见的“人船模型”或叫“人车模型”符合此特点。

四、运用各种力学规律解题的注意事项：
1.使用牛顿运动定律的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，明确并建

立力和加速度及运动与加速度的关系。

2.使用动量定理的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，选取正方向，

明确合外力的冲量及初、末动量的正负。

3.使用动能定理的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，明确哪些力做

功，哪些力不做功，哪些力做正功，哪些力做负功及动能的变化。

4.使用动量守恒定律的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，判断是否符合动量守恒的适用情况和适用条件。

5.使用机械能守恒定律的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，判断是否符合机械能守恒的适用情况和适用条件。

6.使用能量守恒定律的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，明确有哪些力做功，做功的结果是导致什么能向什么能转化，然后建立 的关系。

典例1：（2022·北京·高考真题）体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量，取重力加速度。不计空气阻力。求：

（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；

（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；

（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。

【答案】（1）；（2），方向与水平方向夹角；（3）

【规范答题】（1）设排球在空中飞行的时间为t，则

解得；则排球在空中飞行的水平距离

（2）乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小

得；根据

得；设速度方向与水平方向夹角为（如答图所示）

则有

（3）根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小

典例2：（2022·湖南·高考真题）如图（a），质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的倍（为常数且），且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度大小为g。

（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；

（2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h的高度处，力F随高度y的变化如图（b）所示，其中已知，求的大小；

（3）篮球从H高度处由静止下落后，每次反弹至最高点时，运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，经过N次拍击后篮球恰好反弹至H高度处，求冲量I的大小。

【答案】（1）；（2）；（3）

【规范答题】（1）篮球下降过程中根据牛顿第二定律有

再根据匀变速直线运动的公式，下落的过程中有

篮球反弹后上升过程中根据牛顿第二定律有

再根据匀变速直线运动的公式，上升的过程中有

则篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比

（2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，则篮球下落过程中根据动能定理有

篮球反弹后上升过程中根据动能定理有

联立解得

（3）方法一：由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为

（方向向下）

（方向向下）

由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有

即每拍击一次篮球将给它一个速度v。

拍击第1次下降过程有

上升过程有

代入k后，下降过程有

上升过程有

联立有

拍击第2次，同理代入k后，下降过程有

上升过程有

联立有

再将h1代入h2有

拍击第3次，同理代入k后，下降过程有

上升过程有

联立有

再将h2代入h3有

直到拍击第N次，同理代入k后，下降过程有

上升过程有

联立有

将hN-1代入hN有

其中

，

则有

则

方法二：由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为

（方向向下）

（方向向下）

由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有

即每拍击一次篮球将给它一个速度v’。设篮球从H下落时，速度为，反弹高度为，篮球受到冲量I后速度为v’，落地时速度为，则

，

联立可得

代入k可得，

……①

篮球再次反弹，反弹速度为k，设反弹高度为h1，受到冲量后，落地速度为v2，同理可得

，

同理化简可得

……②

篮球第三次反弹，反弹速度为k，设反弹高度为h2，受到冲量后，落地速度为v3，同理可得

，

同理化简可得

……③

……

第N次反弹可得

……（N）

对式子①②③……(N)两侧分别乘以、、……、，再相加可得

得

其中，，，可得

可得冲量I的大小

典例3：（2022·安徽淮北·二模）我国自主研制的“奋斗者”号潜水器成功下潜突破万米，给世界带来巨大的震撼。某次潜水器完成作业后，以的速度匀速上浮到达离海面处时，在极短的时间内以的速度竖直向下抛出一质量为的载重，然后加速至最大速度后匀速运行，距水面距离较近时关闭发动机，减速至水面时速度恰好为零。设潜水器抛载后体积、发动机推动力、海水阻力均不变。已知潜水器抛载前总质量为，体积为，海水密度取。潜水器上浮过程受到海水的阻力为，重力加速度可视为常量，大小取。求：

（1）潜水器抛载后获得的速度和加速度大小；

（2）潜水器从抛载到浮出水面所需的时间。

【答案】（1），；（2）

【规范答题】（1）设潜水器抛载前总质量为，抛载后总质量为，抛出的载重为，潜水器抛载过程满足动量守恒，则有

其中

，，，

解得抛载后潜水器的速度为

抛载前潜水器匀速运动，受力平衡，则有

其中

解得

抛载后潜水器的加速度为

解得

（2）潜水器做匀加速直线运动至最大速度所需时间和位移为

关闭发动机后潜水器做匀减速直线运动的加速度大小为

做匀减速直线运动至海面的时间和位移为

潜水器以最大速度做匀速直线运动的位移和时间为

潜水器从抛载到浮出水面所需的时间为

典例4：（2022·陕西·西安中学二模）某游戏装置可以简化为如图所示：游客乘坐滑椅（可视为质点）从固定光滑圆弧轨道上的B点处无初速滑下后冲上静止在光滑水平面上的滑板A．已知游客与滑椅的质量为m，滑板A的质量为2m，滑椅与滑板间的动摩擦因数为μ，滑板A足够长，滑椅不会从滑板表面滑出，圆弧轨道的半径为R，O点为圆弧轨道的圆心，，重力加速度为g，求：

（1）滑椅滑到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小；

（2）滑椅滑上A后经多长时间不再相对A滑动；

（3）若滑块A至少多长才能满足要求。

【答案】（1）2mg；（2）；（3）

【规范答题】（1）设滑椅滑到圆弧轨道最低点时速度为，由动能定理有

在圆弧轨道最低点时，有

联立解得

由牛顿第三定律可知，滑椅对轨道的压力大小为2mg

（2）滑板A右端与固定挡板Q碰撞前瞬间，设游客与滑椅的速度为v1，滑板A的速度为v2，由动量守恒定律有

对滑板A，由量定理

解得

（3）设滑板长度至少为x，由功能关系

解得

1．（2022·江苏扬州·模拟）如图所示，圆环用细线a悬挂着，将两个质量均为m的有孔小球套在此环上，两球间用细绳b连接，。剪断细绳b后两小球可在环上无摩擦的滑动，两球碰后粘在一起，圆环始终静止，重力加速度为g。试求：

（1）细绳b剪断前后瞬间圆环对A球的作用力大小、；

（2）碰撞过程A球对B球所做的功W；

（3）圆环能始终静止，其质量M至少多大？（结果用小球质量m表示）

【答案】（1）、；（2）；（3）

【规范答题】（1）剪断细绳b之前，对A受力分析

解得

剪断细绳b后瞬间，对A受力分析

解得

（2）小球同时下滑到最低点，速度大小相等，方向相反，由动量守恒定律得两球碰后速度为零。

解得

由动能定理得

解得

（从静止下滑到碰后速度为零，由动能定理得，解得）

（3）小球做圆周运动，与竖直方向夹角为时。

此过程中，由机械能守恒定律得

由得

对圆环受力分析

解得

当时，T有最小值

由得

2．（2022·广东·模拟）滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可以在不同的轨道上滑行。如图所示，轨道位于竖直平面内，其中BC和DE为半径和的两段圆弧轨道，BC的圆心为O点，圆心角，DE的圆心为点，D点在点正下方，CD为水平轨道，C、D处与圆弧轨道平滑连接；滑板a和b的质量均为，运动员的质量。某时刻，运动员踩在滑板a上，先从轨道上的A点以的速度水平滑出，在B点刚好沿着轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC，滑上CD轨道后，运动员从滑板a跳到静止放置在水平轨道上的滑板b上，并一起向前继续滑动，跳后滑板a则以的速度返回，然后撤掉。运动员和滑板b经CD轨道后冲上DE轨道。滑板和运动员均可视为质点，运动员调整过程中无机械能增加，不计一切阻力，重力加速度取，求：

（1）运动员到达B点的速度大小；

（2）运动员在D点对滑板b的压力大小。

【答案】（1）6m/s；（2）1098N

【规范答题】（1）运动员从A点运动到B点的过程中，做平抛运动，到达B点时，其速度沿B点的切线方向，根据几何关系可知，运动员到达B点的速度为

（2）从B到C，由动能定理得

解得

运动员跳离滑板a，运动员和滑板a动量守恒，有

运动员跳上滑板b，运动员和滑板b动量守恒，有

解得

运动员到达D点后开始做竖直面内圆周运动，设在点滑板对运动员的支持力为，有

解得

根据牛顿第三定律，运动员对滑板的压力为

3．（2022·山西省翼城中学校模拟）滑板运动是青少年喜欢的运动之一，某滑板运动场地如图所示，水平面BC与斜面AB和圆弧CD平滑连接，滑板爱好者站在滑板甲上由静止从A点滑下，同时另一完全相同的滑板乙从圆弧上的D点由静止释放。两滑板在水平面上互相靠近时，滑板爱好者跳到滑板乙上，并和滑板乙保持相对静止，此后两滑板沿同一方向运动且均恰好能到达D点，被站在D点的工作人员接收。已知斜面AB的倾角，圆弧CD的半径R=2m，圆心O与D点的连线与竖直方向的夹角，滑板质量m=4kg，滑板爱好者的质量M=60kg，不计空气阻力及滑板与轨道之间的摩擦，滑板爱好者与滑板均可视为质点，取，，。求：

（1）滑板乙在下滑过程中经过圆弧最低点时，对C点压力的大小；

（2）斜面上AB间的距离。

【答案】（1）72N；（2）2.025m

【规范答题】（1）对滑板乙，从D点运动到C点的过程中，由动能定理得

①

在C点，由牛顿第二定律得

②

解得

③

由牛顿第三定律得，滑板乙对C点的压力大小

④

（2）两滑板均恰能到达D点被工作人员接收，则滑板爱好者及两滑板三者共速

⑤

以滑板爱好者及两滑板为研究对象，由动量守恒定律得

⑥

对滑板爱好者及滑板甲，从A到B的过程中，设A到B的距离为L，由动能定理得

⑦

联立⑤⑥⑦式解得

⑧

4．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学模拟）如图所示，半径为的光滑四分之一圆弧固定轨道AB与粗糙的水平固定轨道BC平滑连接，A点是四分之一圆弧轨道最高点，B点是四分之一圆弧轨道最低点，O为圆心。现有质量为的物块P和质量为的物块Q（均可看成质点），物块Q静止于B点，物块P从A点由静止释放，两物块在B点发生碰撞，碰后物块P恰好能返回到圆弧轨道的D处。已知，物块Q与水平轨道之间的动摩擦因数为，重力加速度g取。求：

（1）碰撞后瞬间，物块P对轨道压力的大小；

（2）碰撞后物块Q在水平轨道上滑行的最大距离。

【答案】（1）；（2）

【规范答题】（1）设物块P碰撞后瞬时速度为，则从碰撞后到返回到圆弧轨道的D处

由动能定理可知

解得

设物块P返回时在B点所受的支持力大小为，则有

解得

根据牛顿第三定律可知，碰撞后瞬间物块P对轨道压力大小为。

（2）设物块P从A点运动到B点时速度大小为，由机械能守恒定律可得

解得

两物块在B点发生碰撞，由动量守恒可知

解得

根据动能定理有

解得

5．（2022·广西柳州·模拟）如图所示，在光滑的水平地面上，质量为的小球A以的初速度向右做匀速直线运动，在O点处与质量为的静止小球B发生碰撞，碰后小球A的速度大小为，方向向右。小球B与墙壁后等速率弹回，在P点与小球A发生第二次碰撞，碰后小球A的速度大小为，方向依旧向右。求：

（1）第一次碰撞后小球B的速度大小；

（2）第一次碰撞过程中系统损失的机械能E损；

（3）第二次碰撞后小球B的速度大小。

【答案】（1）6m/s；（2）12J；（3）3m/s

【规范答题】（1）AB第一次碰撞

解得

（2）由能量守恒有

解得

（3）AB第二次碰撞

解得

6．（2022·福建·模拟）如图所示，一半径的光滑竖直半圆轨道与水平面相切于c点，一质量可视为质点的小物块静止于水平面a点，现用一水平恒力F向左拉物块，经过时间到达b点速度的大小，此时撤去F，小物块继续向前滑行经c点进入光滑竖直圆轨道，且恰能经过竖直轨道最高点d。已知小物块与水平面间的动摩擦因数，重力加速度g取，求：

（1）水平恒力F的大小；

（2）b、c间的距离L。

【答案】（1）6N；（2）2m

【规范答题】（1）从a到b过程中应用动量定理

小物块所受摩擦力

代入数据得水平恒力

（2）小物块恰能经过轨道最高点，在d点由牛顿第二定律有

解得

从c点到d点由动能定理

解得

从b到c由动能定理

得b、c间的距离

7．（2022·福建福州·模拟）如图，“云霄弹射”是亚洲最高的自由落体项目。承载机和游客总质量为m，在短时间内由静止状态被弹射至3h高处，紧接着做自由落体运动下落2h，再以恒力制动减速下降h后刚好停在原处，游客同时体验“高空弹射”的快感以及“瞬间失重”的刺激，不计空气阻力和摩擦力，当地重力加速度为g。

（1）求弹射系统对承载机和游客所做的功；

（2）求下降制动过程中制动恒力的冲量大小。

【答案】（1）3mgh；（2）

【规范答题】（1）承载机和游客从静止上升到最高点，根据动能定理有

  ①

解得弹射系统对承载机和游客所做的功

  ②

（2）设自由落体下落2h时的速度为v，根据动能定理有

   ③

设以恒力制动减速下降h所用时间为，

   ④

设下降制动过程中制动恒力的冲量大小为I，向下为正，根据动量定理有

  ⑤

由③④⑤解得

   ⑥

8．（2022·福建漳州·一模）如图，表面光滑的滑板静止在足够长光滑水平地面上，其水平部分AB和四分之一圆轨道BC平滑连接。可视为质点的物体P置于滑板最右端A，长为L的不可伸长的细线，一端拴于，另一端系质量为m的小球Q，Q位于最低点时与物体P等高且恰好接触。将小球Q拉至与等高处（细线伸直）由静止释放后，在最低点与物体P发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知物体P质量为m，滑板质量为2m，圆轨道半径为，重力加速度为g。求：

（1）小球Q与物体P碰前瞬间的速度的大小；

（2）物体P第一次到达滑板C处时滑板的速度的大小；

（3）物体P第一次到达滑板C处时对轨道压力的大小。

【答案】（1）；（2）；（3）

【规范答题】（1）小球Q由静止释放到碰撞前瞬间的过程，由机械能守恒得

解得

（2）Q与P发生弹性碰撞，P、Q组成的系统动量守恒，则

由机械能守恒定律有

物体P第一次到达滑板C处时，在水平方向滑块与滑板共速，速度为，由水平方向动量守恒有

联立解得

（3）物体P从A第一次到达滑板C处，由能量守恒得

如图

设物体P第一次到达滑板C处时竖直方向的速度为，轨道对P的支持力为。

根据速度关系得

滑板根据牛顿第二定律

对物块P分析，平移惯性力

联立可得

根据牛顿第三定律有

则物体P第一次到达滑板C处时对轨道的压力大小为。

9．（2022·江苏省昆山中学模拟）“再生制动”是一些汽电混动车辆的常用制动方式。所谓“再生制动”就是车辆靠惯性滑行时带动发电机发电，将部分动能转化为电能储存在电池中。假设一辆汽电混动汽车的质量为m，该汽车设定为前阶段在速度大于时选择再生制动，后阶段速度小于等于时选择机械制动。当它以速度在平直路面上做匀速行驶时，某一时刻开始刹车，前阶段阻力的大小与速度的大小成正比，即。后阶段阻力恒为车重的倍，汽车做匀减速运动，重力加速度为g。求：

（1）如果此次刹车的过程中汽电混动汽车动能减小量的倍被转化为电能，那么此次刹车储存多少电能；

（2）汽电混动汽车从刹车到停止的位移多大；

（3）在一次性能检测中，检测机构让汽电混动汽车在平直的路面上匀速行驶（速度小于）一段距离后关闭发动机，测绘了汽车只开启“机械制动”和“机械制动”“再生制动”同时开启两种设定下汽车的动能与位移关系的图线①和②，如图密所示。若检测时忽略测试路面的阻力差异和空气阻力，求“机械制动”“再生制动”同时开启测试中汽车被回收的动能的范围。

【答案】（1）；（2）；（3）

【规范答题】（1）设汽电混动汽车在刹车的过程中储存的电能为E，依题意

得

（2）设汽电混动汽车再生制动阶段运动的位移为x1，由动量定理得

又

即

所以在再生制动阶段有

解得

在机械制动阶段，汽电混动汽车做匀减速运动，由牛顿第二定律可得

又

解得

设匀减速运动的位移为x2，由运动学得

解得

所以汽电混动汽车从刹车到停止的位移为

（3）对于减速过程，因斜线率的绝对值表示阻力的大小，由图线①得

代入得

由图线②，回收的动能范围为

10．（2022·江苏南京·模拟）如图，一足够长的透气圆筒竖直固定在地面上，筒中有一劲度系数为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——流体，它对薄滑块的阻力可调节。初始薄滑块静止，流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与薄滑块碰撞后（碰撞时间极短）粘在一起向下运动，为使薄滑块恰好做匀减速运动且下移距离为时速度减为0，流体对薄滑块的阻力必须随薄滑块下移而适当变化，以薄滑块初始位置处为原点，向下为正方向建立轴，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

（1）流体对薄滑块的阻力随位置坐标x变化的函数关系式；

（2）小物体与薄滑块碰撞后在圆筒中下移距离的过程中，智能材料对薄滑块阻力所做的功。

（3）在薄滑块速度第一次减为0的瞬间，通过调节使此后流体对运动的薄滑块阻力大小恒为，若此后薄滑块向上运动一段距离后停止运动不再下降，的最小值。

【答案】（1）；（2）；（3）

【规范答题】（1）设滑块静止时弹簧压缩量为，则有

设物体下落与滑块相碰前的速度大小为，由动能定理得

设碰后二者粘在一起的共同速度为，由动量守恒定律得

滑块下移的距离为时速度减为零，由运动学公式得

解得

由牛顿第二定律得

联立解得

（2）解法一：

碰撞结束时，智能材料对薄滑块阻力的大小

下移距离d时

智能材料阻力做功

联立解得

解法二：

薄滑块自碰撞后在筒中下移距离d的过程中

，

由动能定理得

联立解得

（3）当滑块向上运动时，若规定向上为滑块和物体所受合力的正方向，则合力

作出图像如图

当时，滑块位置坐标为

设位置坐标为时，滑块速度减为零，根据M点和N点关于合力为零的位置对称，故有

即得

滑块速度减为零时不再下降的条件是

解得

所以的最小值为。